BPE 16.6 Abstände und Volumina
K5 Ich kann Abstände bestimmen.
K5 K4 Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
1 Abstand zweier Punkte (15 min)
Es sind zwei Punkte P und Q gegeben:
\(P(1|3|5)\), \(Q(1|5|3)\)
- Bestimme den Abstand d, den Q von P hat.
- Bestimme einen weiteren Punkt R, der ebenfalls den Abstand d zu Punkt P hat.
| AFB II - K1 K6 | Quelle Martin Stern, Dirk Tebbe |
2 Abstand als Minimalproblem (15 min)
Die Punkte \(A\) und \(B\) legen eine Gerade \(g(A;B)\) fest, auf der der Punkt \(C\) nicht liegt. Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) legen eine Ebene \(E(A;B;C)\) fest, in der der Punkt \(P\) nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
Zeige dazu:
\[\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)\]und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
\[d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.\]Gib jeweils die passende Menge \(M\) an.
Untersuche die Gleichheitsfälle:
- Wann gilt \(d(P;A)=d(P;g(A;B))\)?
- Wann gilt \(d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C))\)?
Beschreibe die jeweilige Lage von \(P\) geometrisch.
Beschreibe für die drei Fälle den Punkt \(F\in M\), der den jeweiligen Abstand realisiert.
Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Formuliere eine allgemeine Aussage:
\[M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).\]Erläutere diese Aussage geometrisch.
| AFB II - K1 K2 K4 K6 | Quelle Martin Rathgeb |