Lösung Abstand Punkt Punkt

   \(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}\)

Damit gilt:

\(d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\).

   Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von \(P\) sind zum Beispiel

\(A(1|1|5)\), \(B(3|3|5)\) und \(C(1|3|7)\).

Denn jeweils gilt:

\(d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}\).

Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um \(P\) mit dem Radius \(2\sqrt{2}\).

   Alle Punkte, die von \(P\) denselben Abstand haben wie \(Q\), liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt \(P(1|3|5)\) und Radius

\(r=d(P;Q)=2\sqrt{2}\).

Alle Punkte, deren Abstand von \(P\) doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt \(P\) und Radius

\(2r=4\sqrt{2}\).

   Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von \(r\) korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.

Für \(r=-2\) gilt:

mit

\(\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}\)
und
\(\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}\).

Also:

\(\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}\).

Damit ist

\(K(1|-1|9)\).

Weiter gilt:

\(\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP} =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}\).

Also:

\(d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).

Da \(d(P;Q)=2\sqrt{2}\) ist, gilt

\(d(P;K)=2\cdot d(P;Q)\).

Korrekt lautet die Aussage daher:

\(d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q)\).

Für positive Werte von \(r\) stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von \(r\) verwendet werden.