Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Punkt

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/28 18:50

version	line-number	content
8.1	1	(% style="list-style: alphastyle" %)
1.1	2	1. (((
3.1	3	{{formula}}
4.1	4	\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
3.1	5	{{/formula}}
1.1	6
3.1	7	{{formula}}
	8	d(P;Q)=\left\|\overrightarrow{PQ}\right\|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=2\sqrt{2}
	9	{{/formula}}
1.1	10	)))
7.1	11	1. (((Statt einer Skizze/Zeichnung:
1.1	12	Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
	13
	14	{{formula}}A(1\|1\|5){{/formula}}, {{formula}}B(3\|3\|5){{/formula}} und {{formula}}C(1\|3\|7){{/formula}}.
	15
	16	Denn jeweils gilt:
	17
3.1	18	{{formula}}
	19	d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}
	20	{{/formula}}
1.1	21
	22	Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
	23	)))
	24	1. (((
	25	Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1\|3\|5){{/formula}} und Radius
	26
3.1	27	{{formula}}r=2\sqrt{2}{{/formula}}.
1.1	28
	29	Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
	30
	31	{{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
	32	)))
	33	1. (((
3.1	34	Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
1.1	35
3.1	36	{{formula}}
5.1	37	\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix},\quad
	38	\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
3.1	39	{{/formula}}
1.1	40
3.1	41	{{formula}}
	42	\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}
5.1	43	=\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\\2\\-2\end{pmatrix}
	44	=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}
3.1	45	{{/formula}}
1.1	46
	47	Damit ist
	48
	49	{{formula}}K(1\|-1\|9){{/formula}}.
	50
3.1	51	{{formula}}
	52	\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
6.1	53	=\begin{pmatrix}1\\-1\\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}
5.1	54	=\begin{pmatrix}0\\-4\\4\end{pmatrix}
3.1	55	{{/formula}}
1.1	56
3.1	57	{{formula}}
	58	d(P;K)=\left\|\overrightarrow{PK}\right\|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=4\sqrt{2}
	59	{{/formula}}
1.1	60
	61	Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
	62
	63	{{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
	64
3.1	65	Die Aussage ist in dieser Form nicht korrekt, da Abstände nicht negativ sind.
1.1	66
3.1	67	Korrekt lautet:
	68
1.1	69	{{formula}}d(P;K)=\|r\|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
	70	)))