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Lösung Dreiecksflächen

Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 15:42

  1. Die Spurpunkte der Ebene sind \(A(2|0|0)\), \(B(0|-4|0)\) und \(C(0|0|2)\).
    Die Seitenlängen sind
    \(|\overline{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}\),
    \(|\overline{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}\),
    \(|\overline{BC}|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\).
    Also gilt \(|\overline{AB}|=|\overline{BC}|\), d.h., das Dreieck ist gleichschenklig.

  2. Der Umfang beträgt \(u=|\overline{AB}|+|\overline{BC}|+|\overline{AC}|=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=4\sqrt{5}+2\sqrt{2}\).
    Für die Fläche verwendet man z.B. \(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}\) und \(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\).
    Dann gilt \(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-8\\4\\-8\end{pmatrix}\) und damit \(A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}=6\).

  3. Eine Seitenhalbierende zerlegt ein Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt. Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AC}\) ist \(M(1|0|1)\). Eine passende Gerade ist daher die Gerade durch \(B\) und \(M\): \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}\).