Lösung Dreiecksflächen

Die Spurpunkte der Ebene sind \(A(2|0|0)\), \(B(0|-4|0)\) und \(C(0|0|2)\).
Seitenlängen:
\(|\overline{AB}|=\sqrt{(-2)^2+(-4)^2}=2\sqrt{5}\)
\(|\overline{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2}\)
\(|\overline{BC}|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}\)

Also gilt \(|\overline{AB}|=|\overline{BC}|\), d.h., das Dreieck ist gleichschenklig.

Umfang:
\(u=|\overline{AB}|+|\overline{BC}|+|\overline{AC}|=2\sqrt{5}+2\sqrt{5}+2\sqrt{2}=4\sqrt{5}+2\sqrt{2}\)

Fläche:
\(\vec{AB}=\begin{pmatrix}-2\\-4\\0\end{pmatrix}\)
\(\vec{AC}=\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\)
\(\vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{pmatrix}-8\\4\\-8\end{pmatrix}\)

Also gilt \(A_{\triangle ABC}=\frac12\cdot|\vec{AB}\times\vec{AC}|=\frac12\cdot\sqrt{64+16+64}=6\).

Alternativ:

• Als Basis wählen wir \(\overline{AC}\).
• Da \(AB=BC\), liegt die Höhe von \(B\) auf die Basis \(\overline{AC}\) im Mittelpunkt \(M(1|0|1)\) von \(\overline{AC}\).
• Also gilt \(|\overline{AC}|=2\sqrt{2},\qquad |\overline{BM}|=3\sqrt{2}\) und damit

Eine Seitenhalbierende zerlegt ein Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt.

• Der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AC}\) ist \(M(1|0|1)\).
• Eine passende Gerade ist daher die Gerade durch \(B\) und \(M\):
  \(g:\vec{x}=\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}1\\4\\1\end{pmatrix}\).