Lösung Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung
Version 1.1 von Anna Kukin am 2026/05/29 14:44
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\(\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = -12 + 12 = 0, \quad \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}= 12 - 12 = 0\)Erläuterung der Lösung
Damit ein Vektor senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, muss er senkrecht zu beiden Richtungsvektoren der Ebene stehen. Das Skalarprodukt aus dem Vektor \( \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) und jedem der beiden Richtungsvektoren muss also den Wert null ergeben. Für den ersten Richtungsvektor ergibt sich:\(\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} =(-3)\cdot 4+4\cdot 3+1\cdot 0= -12 + 12 = 0\)
Und für den zweiten Richtungsvektor:
\(\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=3\cdot 4+(-4)\cdot 3+0\cdot 0=12 - 12 = 0\) Da beide Skalarprodukte \( 0 \) ergeben, steht der Vektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) senkrecht auf beiden Richtungsvektoren und somit senkrecht zur Ebene \( E \).
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{16+9}=5; \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)Erläuterung der Lösung
Aus Teilaufgabe a) wissen wir bereits, dass der Vektor \(\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) senkrecht zur Ebene \(E\) steht und somit ein Normalenvektor der Ebene ist.Da der Abstand von \(P\) zum Spiegelpunkt \( 20 \) betragen soll, muss der Abstand von \(P\) zur Ebene 10 betragen (die Ebene liegt genau in der Mitte zwischen dem Originalpunkt und dem Spiegelpunkt).
Die Länge des Normalenvektors beträgt \(\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{4^2+3^2+0^2} =\sqrt{16+9}=5\). Um den Punkt \(P\) zu erhalten, können wir zum Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene (zum Beispiel des Stützpunktes) das Zweifache des Normalenvektors addieren:
\(\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) Der Punkt lautet somit \( P(9|3|0) \).