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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:46
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
13 )))
14
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
59 )))
60
61 1. (((
62 Für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt
63
64 {{formula}}
65 \vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
66 {{/formula}}
67
68 Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren. Der Punkt gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch
69
70 {{formula}}
71 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
72 =
73 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
74 +
75 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
76 =
77 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
78 {{/formula}}
79
80 Also gilt:
81
82 {{formula}}
83 A'(3|4|-5).
84 {{/formula}}
85
86 Der Punkt gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch
87
88 {{formula}}
89 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
90 =
91 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
92 +
93 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
94 =
95 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
96 {{/formula}}
97
98 Also gilt:
99
100 {{formula}}
101 B'(6|3|-3).
102 {{/formula}}
103
104 Der Punkt gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch
105
106 {{formula}}
107 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
108 =
109 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
110 +
111 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
112 =
113 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
114 {{/formula}}
115
116 Also gilt:
117
118 {{formula}}
119 C_1'(1|3|2).
120 {{/formula}}
121
122 Der Punkt gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
123
124 {{formula}}
125 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
126 =
127 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
128 +
129 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
130 +
131 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
132 =
133 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
134 {{/formula}}
135
136 Also gilt:
137
138 {{formula}}
139 O'(5|5|-3).
140 {{/formula}}
141 )))
142
143 1. (((
144 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
145
146 {{formula}}
147 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
148 {{/formula}}
149
150 Es gilt
151
152 {{formula}}
153 |\vec{a}|
154 =
155 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
156 =
157 \sqrt{9}
158 =
159 3,
160 {{/formula}}
161
162 {{formula}}
163 |\vec{b}|
164 =
165 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
166 =
167 \sqrt{5},
168 {{/formula}}
169
170 und
171
172 {{formula}}
173 |\vec{c}_1|
174 =
175 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
176 =
177 \sqrt{45}
178 =
179 3\sqrt{5}.
180 {{/formula}}
181
182 Damit erhält man
183
184 {{formula}}
185 V
186 =
187 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
188 =
189 45.
190 {{/formula}}
191
192 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
193 )))
194
195 1. (((
196 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
197
198 {{formula}}
199 \vec{c}_t
200 =
201 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
202 =
203 t\cdot
204 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
205 {{/formula}}
206
207 Damit ist
208
209 {{formula}}
210 |\vec{c}_t|
211 =
212 t\cdot|\vec{c}_1|
213 =
214 3\sqrt{5}\,t.
215 {{/formula}}
216
217 Das Volumen des Quaders beträgt daher
218
219 {{formula}}
220 V(t)
221 =
222 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
223 =
224 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
225 =
226 45t.
227 {{/formula}}
228
229 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
230
231 {{formula}}
232 45t=15.
233 {{/formula}}
234
235 Daraus folgt
236
237 {{formula}}
238 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
239 {{/formula}}
240
241 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
242
243 {{formula}}
244 t=\frac{1}{3}.
245 {{/formula}}
246 )))