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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:47
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
13 )))
14 1. (((
15 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
16
17 {{formula}}
18 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
19 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
20 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
21 {{/formula}}
22
23 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
24
25 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
26
27 {{formula}}
28 \vec{a}\cdot\vec{b}
29 =
30 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
31 =
32 -2+2+0
33 =
34 0.
35 {{/formula}}
36
37 {{formula}}
38 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
39 =
40 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
41 =
42 8t+2t-10t
43 =
44 0.
45 {{/formula}}
46
47 {{formula}}
48 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
49 =
50 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
51 =
52 -4t+4t+0
53 =
54 0.
55 {{/formula}}
56
57 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
58 )))
59 1. (((
60 Für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt
61
62 {{formula}}
63 \vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
64 {{/formula}}
65
66 Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren. Der Punkt gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch
67
68 {{formula}}
69 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
70 =
71 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
72 +
73 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
74 =
75 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
76 {{/formula}}
77
78 Also gilt:
79
80 {{formula}}
81 A'(3|4|-5).
82 {{/formula}}
83
84 Der Punkt gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch
85
86 {{formula}}
87 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
88 =
89 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
90 +
91 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
92 =
93 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
94 {{/formula}}
95
96 Also gilt:
97
98 {{formula}}
99 B'(6|3|-3).
100 {{/formula}}
101
102 Der Punkt gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch
103
104 {{formula}}
105 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
106 =
107 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
108 +
109 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
110 =
111 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
112 {{/formula}}
113
114 Also gilt:
115
116 {{formula}}
117 C_1'(1|3|2).
118 {{/formula}}
119
120 Der Punkt gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
121
122 {{formula}}
123 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
124 =
125 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
126 +
127 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
128 +
129 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
130 =
131 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
132 {{/formula}}
133
134 Also gilt:
135
136 {{formula}}
137 O'(5|5|-3).
138 {{/formula}}
139 )))
140 1. (((
141 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
142
143 {{formula}}
144 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
145 {{/formula}}
146
147 Es gilt
148
149 {{formula}}
150 |\vec{a}|
151 =
152 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
153 =
154 \sqrt{9}
155 =
156 3,
157 {{/formula}}
158
159 {{formula}}
160 |\vec{b}|
161 =
162 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
163 =
164 \sqrt{5},
165 {{/formula}}
166
167 und
168
169 {{formula}}
170 |\vec{c}_1|
171 =
172 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
173 =
174 \sqrt{45}
175 =
176 3\sqrt{5}.
177 {{/formula}}
178
179 Damit erhält man
180
181 {{formula}}
182 V
183 =
184 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
185 =
186 45.
187 {{/formula}}
188
189 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
190 )))
191
192 1. (((
193 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
194
195 {{formula}}
196 \vec{c}_t
197 =
198 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
199 =
200 t\cdot
201 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
202 {{/formula}}
203
204 Damit ist
205
206 {{formula}}
207 |\vec{c}_t|
208 =
209 t\cdot|\vec{c}_1|
210 =
211 3\sqrt{5}\,t.
212 {{/formula}}
213
214 Das Volumen des Quaders beträgt daher
215
216 {{formula}}
217 V(t)
218 =
219 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
220 =
221 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
222 =
223 45t.
224 {{/formula}}
225
226 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
227
228 {{formula}}
229 45t=15.
230 {{/formula}}
231
232 Daraus folgt
233
234 {{formula}}
235 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
236 {{/formula}}
237
238 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
239
240 {{formula}}
241 t=\frac{1}{3}.
242 {{/formula}}
243 )))