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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 5.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:55
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
13
14 )))
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
59
60 )))
61 1. (((Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren, wobei für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt {{formula}}\vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}{{/formula}}.
62
63 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
64 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
65 =
66 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
67 +
68 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
69 =
70 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
71 {{/formula}}
72 Also gilt: {{formula}}A'(3|4|-5){{/formula}}.
73
74 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
75 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
76 =
77 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
78 +
79 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
80 =
81 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
82 {{/formula}}
83 Also gilt: {{formula}}B'(6|3|-3){{/formula}}.
84
85 * Der Punkt gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
86 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
87 =
88 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
89 +
90 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
91 =
92 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
93 {{/formula}}
94 Also gilt: {{formula}}C_1'(1|3|2){{/formula}}.
95
96 * Der Punkt gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren: {{formula}}
97 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
98 =
99 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
100 +
101 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
102 +
103 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
104 =
105 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
106 {{/formula}}
107 Also gilt: {{formula}}O'(5|5|-3){{/formula}}.
108
109 )))
110 1. (((
111 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
112
113 {{formula}}
114 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
115 {{/formula}}
116
117 Es gilt
118
119 {{formula}}
120 |\vec{a}|
121 =
122 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
123 =
124 \sqrt{9}
125 =
126 3,
127 {{/formula}}
128
129 {{formula}}
130 |\vec{b}|
131 =
132 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
133 =
134 \sqrt{5},
135 {{/formula}}
136
137 und
138
139 {{formula}}
140 |\vec{c}_1|
141 =
142 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
143 =
144 \sqrt{45}
145 =
146 3\sqrt{5}.
147 {{/formula}}
148
149 Damit erhält man
150
151 {{formula}}
152 V
153 =
154 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
155 =
156 45.
157 {{/formula}}
158
159 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
160
161 )))
162 1. (((
163 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
164
165 {{formula}}
166 \vec{c}_t
167 =
168 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
169 =
170 t\cdot
171 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
172 {{/formula}}
173
174 Damit ist
175
176 {{formula}}
177 |\vec{c}_t|
178 =
179 t\cdot|\vec{c}_1|
180 =
181 3\sqrt{5}\,t.
182 {{/formula}}
183
184 Das Volumen des Quaders beträgt daher
185
186 {{formula}}
187 V(t)
188 =
189 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
190 =
191 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
192 =
193 45t.
194 {{/formula}}
195
196 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
197
198 {{formula}}
199 45t=15.
200 {{/formula}}
201
202 Daraus folgt
203
204 {{formula}}
205 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
206 {{/formula}}
207
208 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
209
210 {{formula}}
211 t=\frac{1}{3}.
212 {{/formula}}
213 )))