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Wiki-Quellcode von Lösung Quader durch Punkte

Version 6.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/12 19:57
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1 (%class=abc%)
2 1. (((
3 Die Punkte haben die Koordinaten
4
5 {{formula}}
6 A(2|1|2),\quad B(-1|2|0),\quad C_1(4|2|-5).
7 {{/formula}}
8
9 Zum Zeichnen trägt man die Punkte vom Koordinatenursprung aus ein. Dabei gilt:
10 * {{formula}}A{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}-, {{formula}}x_2{{/formula}}- und {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
11 * {{formula}}B{{/formula}} liegt in negativer {{formula}}x_1{{/formula}}-Richtung, positiver {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung und auf der Ebene {{formula}}x_3=0{{/formula}}.
12 * {{formula}}C_1{{/formula}} liegt in positiver {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Richtung, aber in negativer {{formula}}x_3{{/formula}}-Richtung.
13
14 )))
15 1. (((
16 Die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} werden als Endpunkte der Ortsvektoren
17
18 {{formula}}
19 \vec{a}=\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
20 \vec{b}=\overrightarrow{OB}=\begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix},\quad
21 \vec{c}_t=\overrightarrow{OC_t}=\begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
22 {{/formula}}
23
24 aufgefasst. Ein Quader entsteht, wenn die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen.
25
26 Dazu berechnet man die Skalarprodukte:
27
28 {{formula}}
29 \vec{a}\cdot\vec{b}
30 =
31 2\cdot(-1)+1\cdot2+2\cdot0
32 =
33 -2+2+0
34 =
35 0.
36 {{/formula}}
37
38 {{formula}}
39 \vec{a}\cdot\vec{c}_t
40 =
41 2\cdot4t+1\cdot2t+2\cdot(-5t)
42 =
43 8t+2t-10t
44 =
45 0.
46 {{/formula}}
47
48 {{formula}}
49 \vec{b}\cdot\vec{c}_t
50 =
51 (-1)\cdot4t+2\cdot2t+0\cdot(-5t)
52 =
53 -4t+4t+0
54 =
55 0.
56 {{/formula}}
57
58 Damit stehen die drei Vektoren {{formula}}\vec{a},\vec{b},\vec{c}_t{{/formula}} paarweise senkrecht zueinander. Da außerdem {{formula}}t>0{{/formula}} gilt, ist {{formula}}\vec{c}_t{{/formula}} kein Nullvektor. Die Punkte {{formula}}O,\ A,\ B,\ C_t{{/formula}} sind also drei von einem Eckpunkt ausgehende Kanten eines Quaders.
59
60 )))
61 1. (((Die weiteren Eckpunkte des Quaders erhält man durch Addition der Kantenvektoren, wobei für {{formula}}t=1{{/formula}} gilt {{formula}}\vec{c}_1=\begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}{{/formula}}.
62
63 * Der Punkt {{formula}}A'(3|4|-5){{/formula}} gegenüber von {{formula}}A{{/formula}} entsteht durch
64
65 {{formula}}
66 \overrightarrow{OA'}=\vec{b}+\vec{c}_1
67 =
68 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
69 +
70 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
71 =
72 \begin{pmatrix}3\\4\\-5\end{pmatrix}.
73 {{/formula}}
74
75 * Der Punkt {{formula}}B'(6|3|-3){{/formula}} gegenüber von {{formula}}B{{/formula}} entsteht durch
76
77 {{formula}}
78 \overrightarrow{OB'}=\vec{a}+\vec{c}_1
79 =
80 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
81 +
82 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
83 =
84 \begin{pmatrix}6\\3\\-3\end{pmatrix}.
85 {{/formula}}
86
87 * Der Punkt {{formula}}C_1'(1|3|2){{/formula}} gegenüber von {{formula}}C_1{{/formula}} entsteht durch {{formula}}
88 \overrightarrow{OC_1'}=\vec{a}+\vec{b}
89 =
90 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
91 +
92 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
93 =
94 \begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}.
95 {{/formula}}
96
97 * Der Punkt {{formula}}O'(5|5|-3){{/formula}} gegenüber vom Ursprung {{formula}}O{{/formula}} entsteht durch Addition aller drei Kantenvektoren:
98
99 {{formula}}
100 \overrightarrow{OO'}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}_1
101 =
102 \begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix}
103 +
104 \begin{pmatrix}-1\\2\\0\end{pmatrix}
105 +
106 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}
107 =
108 \begin{pmatrix}5\\5\\-3\end{pmatrix}.
109 {{/formula}}
110
111 )))
112 1. (((
113 Da die drei Kantenvektoren paarweise senkrecht zueinander stehen, ergibt sich das Volumen des Quaders als Produkt der drei Kantenlängen:
114
115 {{formula}}
116 V=|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_1|.
117 {{/formula}}
118
119 Es gilt
120
121 {{formula}}
122 |\vec{a}|
123 =
124 \sqrt{2^2+1^2+2^2}
125 =
126 \sqrt{9}
127 =
128 3,
129 {{/formula}}
130
131 {{formula}}
132 |\vec{b}|
133 =
134 \sqrt{(-1)^2+2^2+0^2}
135 =
136 \sqrt{5},
137 {{/formula}}
138
139 und
140
141 {{formula}}
142 |\vec{c}_1|
143 =
144 \sqrt{4^2+2^2+(-5)^2}
145 =
146 \sqrt{45}
147 =
148 3\sqrt{5}.
149 {{/formula}}
150
151 Damit erhält man
152
153 {{formula}}
154 V
155 =
156 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}
157 =
158 45.
159 {{/formula}}
160
161 Der Quader besitzt für {{formula}}t=1{{/formula}} also das Volumen {{formula}}45{{/formula}}.
162
163 )))
164 1. (((
165 Für allgemeines {{formula}}t>0{{/formula}} gilt
166
167 {{formula}}
168 \vec{c}_t
169 =
170 \begin{pmatrix}4t\\2t\\-5t\end{pmatrix}
171 =
172 t\cdot
173 \begin{pmatrix}4\\2\\-5\end{pmatrix}.
174 {{/formula}}
175
176 Damit ist
177
178 {{formula}}
179 |\vec{c}_t|
180 =
181 t\cdot|\vec{c}_1|
182 =
183 3\sqrt{5}\,t.
184 {{/formula}}
185
186 Das Volumen des Quaders beträgt daher
187
188 {{formula}}
189 V(t)
190 =
191 |\vec{a}|\cdot|\vec{b}|\cdot|\vec{c}_t|
192 =
193 3\cdot\sqrt{5}\cdot3\sqrt{5}\,t
194 =
195 45t.
196 {{/formula}}
197
198 Gesucht ist ein Wert von {{formula}}t{{/formula}} mit
199
200 {{formula}}
201 45t=15.
202 {{/formula}}
203
204 Daraus folgt
205
206 {{formula}}
207 t=\frac{15}{45}=\frac{1}{3}.
208 {{/formula}}
209
210 Da {{formula}}\frac{1}{3}>0{{/formula}} gilt, ist dieser Wert zulässig. Es gibt also genau einen solchen Wert, nämlich
211
212 {{formula}}
213 t=\frac{1}{3}.
214 {{/formula}}
215 )))