Lösung Spiegelung an Punkt

Bei einer Punktspiegelung an \(S\) gilt für jeden Punkt \(X\) mit Ortsvektor \(\vec{x}\):

\(\vec{x'}=2\vec{s}-\vec{x}\).

Daher gilt insbesondere \(\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}\), \(\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}\) und \(\vec{c'}=2\vec{s}-\vec{c}\).
In der Skizze liegt \(S\) jeweils als Mittelpunkt zwischen einem Punkt und seinem Spiegelpunkt, also z.B. zwischen \(A\) und \(A'\).

Die Spiegelbilder ergeben sich wie folgt:

• Punkt \(A\). Der Spiegelpunkt \(A'\) liegt auf der Geraden durch \(A\) und \(S\); dabei ist \(S\) der Mittelpunkt der Strecke \(\overline{AA'}\).
• Gerade \(g=g(A;B)\). Das Spiegelbild ist die Gerade \(g'=g(A';B')\). Da Punktspiegelungen Geraden auf Geraden abbilden und die Richtungsrichtung erhalten bleibt, gilt \(g'\parallel g\).
• Ebene \(E=\text{E}(A;B;C)\). Das Spiegelbild ist die Ebene \(E'=\text{E}(A';B';C')\). Die Ebene \(E'\) ist parallel zu \(E\), da die Spannrichtungen erhalten bleiben.

Algebraische Darstellung:

• Punkt \(A'\). Aus der Punktspiegelung folgt direkt \(\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}\).
• Gerade \(g'\). Für \(g\) gilt \(g:\vec{x}=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a})\).
  Damit gilt für das Spiegelbild \(g':\vec{x}=\vec{a'}+t(\vec{b'}-\vec{a'})\).
  Mit \(\vec{a'}=2\vec{s}-\vec{a}\) und \(\vec{b'}=2\vec{s}-\vec{b}\) erhält man folgende Termkette:
  \(\vec{b'}-\vec{a'}=(2\vec{s}-\vec{b})-(2\vec{s}-\vec{a})=2\vec{s}-\vec{b}-2\vec{s}+\vec{a}=\vec{a}-\vec{b}=-(\vec{b}-\vec{a})\).
  Daher ist z.B. \(g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{a}-\vec{b})\) oder äquivalent \(g':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+t(\vec{b}-\vec{a})\).
• Ebene \(E'\). Für \(E\) gilt \(E:\vec{x}=\vec{a}+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a})\).
  Das Spiegelbild ist \(E':\vec{x}=\vec{a'}+r(\vec{b'}-\vec{a'})+u(\vec{c'}-\vec{a'})\).
  Mit \(\vec{b'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{b}\) und \(\vec{c'}-\vec{a'}=\vec{a}-\vec{c}\) ergibt sich \(E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{a}-\vec{b})+u(\vec{a}-\vec{c})\).
  Äquivalent kann man auch die ursprünglichen Spannvektoren verwenden: \(E':\vec{x}=(2\vec{s}-\vec{a})+r(\vec{b}-\vec{a})+u(\vec{c}-\vec{a})\).