Wiki-Quellcode von Lösung Volumen von Quadern
Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/30 12:42
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
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1.1 | 1 | === Teilaufgabe a) === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | {{formula}}\vec{a}\circ \vec{b}=0, \ \vec{a}\circ \vec{c}_t=0, \ \vec{b}\circ \vec{c}_t=0{{/formula}} | ||
| 4 | {{/detail}} | ||
| 5 | |||
| 6 | |||
| 7 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
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2.1 | 8 | Damit drei Vektoren, die von einem gemeinsamen Punkt ausgehen, einen Quader aufspannen, müssen sie alle senkrecht (orthogonal) zueinander verlaufen. Das ist genau dann der Fall, wenn alle drei Skalarprodukte null ergeben. Wir prüfen jeweils: |
| 9 | <br> | ||
| 10 | {{formula}} | ||
| 11 | \begin{align*} | ||
| 12 | \vec{a}\circ \vec{b} &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = -2 + 2 + 0 = 0 \\ | ||
| 13 | \vec{a}\circ \vec{c}_t &= \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} = 2 \cdot 4t + 1 \cdot 2t + 2 \cdot (-5t) = 8t + 2t - 10t = 0 \\ | ||
| 14 | \vec{b}\circ \vec{c}_t &= \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} = -1 \cdot 4t + 2 \cdot 2t + 0 \cdot (-5t) = -4t + 4t + 0 = 0 | ||
| 15 | \end{align*} | ||
| 16 | {{/formula}} | ||
| 17 | <p></p> | ||
| 18 | Da alle drei Skalarprodukte null ergeben, stehen alle drei Vektoren paarweise senkrecht aufeinander. Somit ist der aufgespannte Körper für alle {{formula}} t\in \mathbb{R}\backslash \{0\} {{/formula}} ein Quader. | ||
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1.1 | 19 | {{/detail}} |
| 20 | |||
| 21 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 22 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 23 | {{formula}}|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}_t| = 15 \ \Leftrightarrow \ 3\cdot \sqrt{5}\cdot \sqrt{45}\cdot |t| = 15 \ \Leftrightarrow \ t =\pm\frac{1}{3}{{/formula}} | ||
| 24 | {{/detail}} | ||
| 25 | |||
| 26 | |||
| 27 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| |
2.1 | 28 | Das Volumen eines Quaders ergibt sich durch das Produkt seiner drei Kantenlängen (Länge mal Breite mal Höhe), das heißt es gilt: |
| 29 | <br> | ||
| 30 | {{formula}}V= |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}_t|{{/formula}} | ||
| 31 | <br> | ||
| 32 | Wir berechnen also zunächst die Längen der Vektoren: | ||
| 33 | <br> | ||
| 34 | {{formula}} | ||
| 35 | \begin{align*} | ||
| 36 | |\vec{a}| &= \sqrt{2^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \\ | ||
| 37 | |\vec{b}| &= \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 4 + 0} = \sqrt{5} \\ | ||
| 38 | |\vec{c}_t| &= \sqrt{(4t)^2 + (2t)^2 + (-5t)^2} = \sqrt{16t^2 + 4t^2 + 25t^2} = \sqrt{45t^2}=\sqrt{45}\cdot |t| | ||
| 39 | \end{align*} | ||
| 40 | {{/formula}} | ||
| 41 | <br> | ||
| 42 | (//Hinweis: Beim teilweisen Wurzelziehen aus {{formula}} t^2 {{/formula}} muss man Betragsstriche setzen, da die Wurzel stets positiv ist//) | ||
| 43 | <p></p> | ||
| 44 | Da das Volumen 15 betragen soll, setzen wir {{formula}}V=15{{/formula}}. Wir erhalten dadurch | ||
| 45 | <br> | ||
| 46 | {{formula}} | ||
| 47 | \begin{align*} | ||
| 48 | && |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot |\vec{c}_t| &= 15 \\ | ||
| 49 | &\Leftrightarrow & 3 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{45} \cdot |t| &= 15 \\ | ||
| 50 | &\Leftrightarrow & 3 \cdot \sqrt{5 \cdot 45} \cdot |t| &= 15 \\ | ||
| 51 | &\Leftrightarrow & 3 \cdot \sqrt{225} \cdot |t| &= 15 \\ | ||
| 52 | &\Leftrightarrow & 3 \cdot 15 \cdot |t| &= 15 \\ | ||
| 53 | &\Leftrightarrow & 45 \cdot |t| &= 15 &&\mid :45 \\ | ||
| 54 | &\Leftrightarrow & |t| &= \frac{15}{45}=\frac{1}{3} \\ | ||
| 55 | &\Leftrightarrow & t &= \pm \frac{1}{3} | ||
| 56 | \end{align*} | ||
| 57 | {{/formula}} | ||
| 58 | <br> | ||
| 59 | Es ergibt sich also für {{formula}}t = \frac{1}{3}{{/formula}} und {{formula}}t = -\frac{1}{3}{{/formula}} jeweils für den zugehörigen Quader das Volumen 15. | ||
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1.1 | 60 | {{/detail}} |