Lösung Spiegelung eines Punktes an einer Ebene
Version 3.1 von Anna Kukin am 2026/06/14 20:12
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
\(-1+3\cdot 7\neq 0\)Erläuterung der Lösung
Einsetzen von Punkt \(P\) in die Ebenengleichung (Punktprobe) ergibt \(-1+3\cdot 7\neq 0\).Somit liegt \(P\) nicht in \(E\).
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
Gleichung der Gerade \(g\), die senkrecht zu \(E\) durch \(P\) verläuft:\(\vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}\) Mit \(-1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda)=0 \ \Leftrightarrow \ 10\lambda=-20 \ \Leftrightarrow \lambda =-2\) ergibt sich für den Ortsvektor des gesuchten Punkts \(\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}-4\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2\end{pmatrix}\).
Erläuterung der Lösung
Wir spiegeln den Punkt \(P\) an \(E\) mit Hilfe des Lotfußpunktverfahrens. Dazu konstruieren wir zunächst eine Gerade \(g\), die senkrecht zur Ebene \(E\) verläuft und durch den Punkt \(P\) geht (Lotgerade).Da der Normelenvektor der Ebene senkrecht zu der Ebene steht, verwenden wir diesen als Richtungsvektor der Geraden \(g\). Da die Gerade zudem durch den Punkt \(P\) geht, verwenden wir diesen als Stützpunkt. Die Geradengleichung lautet somit:
\(g: \ \vec{x}=\begin{pmatrix} -1 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}+\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 0\end{pmatrix}\) Nun setzen wir einen allgemeinen Geradenpunkt \(F_\lambda(-1+\lambda | 7+3\lambda | 2)\) in die Ebenengleichung ein und erhalten für \(\lambda\):
\(\begin{align*} -1+\lambda+3\cdot (7+3\lambda) &=0 \\ -1+\lambda + 21 + 9\lambda &= 0 \\ \Leftrightarrow \ 10\lambda &=-20 \quad \mid :10 \\ \Leftrightarrow \lambda &=-2 \end{align*}\)
Somit erhalten wir den Lotfußpunkt \(F_\lambda(-3| 1 | 2)\). Dann gilt: \(\overrightarrow{OF} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}, \quad \overrightarrow{PF} = \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \overrightarrow{OP'} = \begin{pmatrix} -3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \\ -6 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix} \Rightarrow P'(-5 \mid -5 \mid 2)\)