Lösung Zufallsgröße Tetraeder

**Hinweise und Lösungshilfen**

__Hinweis Teilaufgabe a)__

Bei der Zufallsgröße {{formula}}Y{{/formula}} wird als Treffer gezählt, was bei der Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}} den Nicht-Treffer darstellt und umgekehrt.

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Folglich können Symmetrieeigenschaften verwendet werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}Y{{/formula}} zu zeichnen.

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__Hinweis Teilaufgabe b)__

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Damit die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der beiden binomialverteilten Zufallsgrößen {{formula}}X{{/formula}} und {{formula}}Z{{/formula}} identisch sein können, müssen die Parameter {{formula}}n{{/formula}} und {{formula}}p{{/formula}} gleich sein.

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__Hinweis Teilaufgabe c)__

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Der Parameter {{formula}}n=4{{/formula}} ist bei beiden Zufallsgrößen bereits gleich.

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Wie kann {{formula}}Z{{/formula}} formuliert werden, damit auch die Trefferwahrscheinlichkeiten {{formula}}p{{/formula}} identisch sind?

__Lösung__:

1. [[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

Erläuterung:

Bei der Zufallsgröße {{formula}}Y{{/formula}} wird als Treffer gezählt, was bei der Zufallsgröße {{formula}}X{{/formula}} als Nicht-Treffer gezählt wird und umgekehrt.

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Es gilt also: {{formula}}P(Y=0)=P(X=4); \ P(Y=1)=P(X=3); \ P(Y=2)=P(X=2){{/formula}} usw.

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Folglich kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}X{{/formula}} an der vertikalen Geraden durch {{formula}}k=2{{/formula}} gespiegelt werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von {{formula}}Y{{/formula}} zu erhalten.

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[[image:Abb1ZufallsgroesseTetraeder.png||width="300"]][[image:LoesungZufallsgroesse.png||width="250"]]

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2. {{formula}}Z{{/formula}}: Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden erzielten Zahlen größer als drei ist.

Erläuterung:

Wir benötigen eine Zufallsgröße {{formula}}Z{{/formula}} mit {{formula}}n=4{{/formula}} und {{formula}}p=\frac{1}{4}{{/formula}}, denn das sind die Parameter von {{formula}}X{{/formula}}.

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{{formula}}n=4{{/formula}} ist bei {{formula}}Z{{/formula}} schon vorausgesetzt (siehe Aufgabenstellung, „viermaliges Werfen“).

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Zu überlegen ist also, wie man einen Treffer festlegt, dessen Trefferwahrscheinlichkeit {{formula}}p=\frac{1}{4}{{/formula}} beträgt. Da die beiden Würfel farblich unterscheidbar sind, ist das einmalige Würfeln mit beiden Würfeln ein Laplace-Experiment, denn wenn beispielsweise das Ergebnis {{formula}}14{{/formula}} bedeutet, dass der rote Würfel eine {{formula}}1{{/formula}}zeigt und der grüne Würfel eine {{formula}}4{{/formula}}, dann lautet die Ergebnismenge {{formula}}S=\{11,12,13,\dots,21,22,23,\dots, 65,66\}{{/formula}} und jedes darin enthaltene Ergebnis ist gleich wahrscheinlich. Diese Ergebnismenge enthält {{formula}}6^2=36{{/formula}} Ergebnisse, also müssen wir als Treffer ein Ereignis festlegen, das {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse enthält, damit wir auf {{formula}}p=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}{{/formula}} kommen. Das Ereignis „Keine der beiden Zahlen ist größer als {{formula}}3{{/formula}}“ beinhaltet tatsächlich {{formula}}9{{/formula}} Ergebnisse: {{formula}}E=\{11,12,13,21,22,23,31,32,33\}{{/formula}}

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Also können wir das Treffer-Ereignis festlegen als „Keine der beiden Zahlen ist größer als {{formula}}3{{/formula}}“.

Wiki-Quellcode von Lösung Zufallsgröße Tetraeder