Lösung Zufallsgröße Tetraeder
Erläuterung:
Bei der Zufallsgröße \(Y\) wird als Treffer gezählt, was bei der Zufallsgröße \(X\) als Nicht-Treffer gezählt wird und umgekehrt.
Es gilt also: \(P(Y=0)=P(X=4); \ P(Y=1)=P(X=3); \ P(Y=2)=P(X=2)\) usw.
Folglich kann die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X\) an der vertikalen Geraden durch \(k=2\) gespiegelt werden, um die Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(Y\) zu erhalten.
2.
\(Z\): Anzahl der Würfe, bei denen keine der beiden erzielten Zahlen größer als drei ist.
Erläuterung:
Wir benötigen eine Zufallsgröße \(Z\) mit \(n=4\) und \(p=\frac{1}{4}\), denn das sind die Parameter von \(X\).
\(n=4\) ist bei \(Z\) schon vorausgesetzt (siehe Aufgabenstellung, „viermaliges Werfen“).
Zu überlegen ist also, wie man einen Treffer festlegt, dessen Trefferwahrscheinlichkeit \(p=\frac{1}{4}\) beträgt. Da die beiden Würfel farblich unterscheidbar sind, ist das einmalige Würfeln mit beiden Würfeln ein Laplace-Experiment, denn wenn beispielsweise das Ergebnis \(14\) bedeutet, dass der rote Würfel eine \(1\)zeigt und der grüne Würfel eine \(4\), dann lautet die Ergebnismenge \(S=\{11,12,13,\dots,21,22,23,\dots, 65,66\}\) und jedes darin enthaltene Ergebnis ist gleich wahrscheinlich. Diese Ergebnismenge enthält \(6^2=36\) Ergebnisse, also müssen wir als Treffer ein Ereignis festlegen, das \(9\) Ergebnisse enthält, damit wir auf \(p=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\) kommen. Das Ereignis „Keine der beiden Zahlen ist größer als \(3\)“ beinhaltet tatsächlich \(9\) Ergebnisse: \(E=\{11,12,13,21,22,23,31,32,33\}\)
Also können wir das Treffer-Ereignis festlegen als „Keine der beiden Zahlen ist größer als \(3\)“.