Lösung Eigenschaften der Gauß´schen Glockenfunktion mithilfe der Differentialrechnung nachweisen

Wir setzen \(-x\) in die Funktionsgleichung ein und erhalten:
\(\varphi(-x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}(-x)^2}= \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2} = \varphi(x)\)
Die Glockenfunktion ist somit achsensymmetrisch zur y-Achse, da für alle \(x \in \mathbb{R}\) gilt: \(\varphi(-x) = \varphi(x)\).

Mithilfe der Kettenregel erhalten wir:
\(\varphi'(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}x^2} \cdot (-x)\)

Da \(\varphi'(0) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot e^{-\frac{1}{2}0^2} \cdot 0 = 0\) ist, ist die notwendige Bedingung für Extrempunkte erfüllt. Nun bilden wir noch die zweite Ableitung, um zu prüfen, ob an der Stelle tatsächlich ein Hochpunkt vorliegt (alternativ: Überprüfung mit Vorzeichenwechsel).

Mit der Produkt- und der Kettenregel erhalten wir:
\(\varphi''(x) = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}+ (-x) \cdot \left(-x \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}\right) = (x^2 - 1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}x^2}\)
und damit \(\varphi''(0) = (-1) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2}0^2} = -\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} < 0\) \(\rightarrow\) Hochpunkt.