BPE 18.1 Gauß-Algorithmus und Lösbarkeit

1  Lösungsvielfalt  (5 min) 𝕃

Gegeben sind 3 lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise in Stufenform. Gebe jeweils die Lösungsvielfalt sowie die Lösungsmenge der Gleichungssysteme an.

1. \(\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 &1\end{array}\right)\)
2. \(\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &2\end{array}\right)\)
3. \(\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{array}\right)\)

2  Lösen  (13 min) 𝕃

Bestimme jeweils die Lösungsmenge:

1. \(\begin{aligned} x + y + z &= 6 \\ 2x - y + z &= 3 \\ x + 2y - z &= 2 \end{aligned}\)
2. \(\begin{aligned} x + y - z &= 1 \\ -x + 2y + z &= 2 \\ -x + 5y + z &= 5 \end{aligned}\)
3. \(\begin{aligned} x + y &= 3 \\ 2x - y &= 3 \\ 3x + y &= 7 \end{aligned}\)
4. \(\begin{aligned} x + y + z &= 2 \\ x + 2y - z &= 3 \\ 2x + 3y &= 10 \end{aligned}\)

3  Aussagen  (k.A.) 𝕃

Überlege, welche der folgenden Aussagen korrekt sind. Begründe Deine Entscheidung.

1. Ein homogenes LGS kann unlösbar sein.
2. Ein unlösbares LGS kann homogen sein.
3. Ein überbestimmtes LGS kann mehrdeutig lösbar sein.
4. Ein mehrdeutig lösbares LGS kann überbestimmt sein.
5. Ein unterbestimmtes LGS kann unlösbar sein.
6. Ein inhomogenes LGS kann trivial lösbar sein.

4  Rückwärts  (k.A.) 𝕃

Erstelle ein LGS ..

1. mit der Lösungsmenge \(\textbf{L}=\left\lbrace\right\rbrace\)
2. mit der Lösungsmenge \(\textbf{L}=\left\lbrace\begin{pmatrix}1\\ 2\end{pmatrix}\right\rbrace\)
3. mit der Lösungsmenge \(\textbf{L}=\left\lbrace\vec{x} |~ \vec{x}=\begin{pmatrix}r\\ 2r\end{pmatrix};~r\in \mathbb{R}\right\rbrace\)

5  Reaktionsgleichung  (6 min) 𝕋 

Gleiche die chemische Reaktionsgleichung aus, indem Du für alle Ausgangsstoffe und Endprodukte passende Koeffizienten bestimmst.
\(x_1 CaCO_3 + x_2 HCl \Rightarrow x_3 CaCl_2 + x_4 CO_2 +x_5 H_2O\)

6  Lösungsvielfalt mit Parameter  (k.A.) 𝕃

Gegeben ist das Gleichungssystem
\(\begin{matrix}\mathrm{I}&2x&\ &\ &+&z\ &=&0\\\mathrm{II}&\ &\ &-y&+&2z&=&0\\\mathrm{III}&\ &\ &2y&+&bz&=&1\\\end{matrix}\)
mit \(x,y,z\in\mathbb{R}\). Untersuche in Abhängigkeit von \(b\) mit \(b\in\mathbb{R}\) die Anzahl der Lösungen des Gleichungssystems; gib gegebenenfalls die Lösungen an.