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Wiki-Quellcode von Lösung Lösungsvielfalt

Zuletzt geändert von johannesscherer am 2026/05/12 17:17
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1 Gegeben sind 3 lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise in Stufenform. Gebe jeweils die Lösungsvielfalt sowie die Lösungsmenge der Gleichungssysteme an.
2 (%class="abc"%)
3 1. (%style="vertical-align: top"%)
4 Das zugehörige lineare Gleichungssystem zu folgender Matrixschreibeise lautet:
5 {{formula}}
6 \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 &1\end{array}\right)
7 \Longleftrightarrow
8 \begin{aligned}
9 x + y + z &= 4 \\
10 y + z &= 2 \\
11 z &= 1
12 \end{aligned}
13 {{/formula}}
14 Aus der 3. Zeile folgt sofort {{formula}} z=1 {{/formula}}.
15 Durch Einsetzen von {{formula}} z=1 {{/formula}} in die 2. Zeile folgt {{formula}} y + 1 = 2 \Rightarrow y=1 {{/formula}}
16 Durch Einsetzen von {{formula}} z=1 {{/formula}} und {{formula}} y=1 {{/formula}} in die 2. Zeile folgt {{formula}} x + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x=2 {{/formula}}
17 **Lösungsmenge:** {{formula}} L=\{(2;1;1)\} {{/formula}}
18 1. (%style="vertical-align: top"%)
19 Das zugehörige lineare Gleichungssystem zu folgender Matrixschreibeise lautet:
20 {{formula}}
21 \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &2\end{array}\right)
22 \Longleftrightarrow
23 \begin{aligned}
24 x + y + z &= 3 \\
25 y + z &= 1 \\
26 0 &= 2
27 \end{aligned}
28 {{/formula}}
29 Die 3. Zeile liefert die Gleichung 0 = 2, die nie wahr ist. Daher ist das Lineare Gleichungssystem nicht lösbar.
30 **Lösungsmenge:** {{formula}} L=\{\} {{/formula}}
31 1. (%style="vertical-align: top"%)
32 Das zugehörige lineare Gleichungssystem zu folgender Matrixschreibeise lautet:
33 {{formula}}
34 \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{array}\right)
35 \Longleftrightarrow
36 \begin{aligned}
37 x + y + z &= 4 \\
38 y + z &= 2 \\
39 0 &= 0
40 \end{aligned}
41 {{/formula}}
42 Das lineare Gleichunggsystem hat aufgrund der Nullzeile in der 3. Zeile unendlich viele Lösungen. Der Grund ist, dass wir 3 Variablen, aber nur 2 unabhängige Gleichungen gegeben haben (die Nullzeile liefert keine weitere Information).
43 Bestimmung der Lösung:
44 Setze eine der 2 Variablen in der 2. Zeile als Parameter, z.B. z = t. Der Hintergrund davon ist, dass wir eine Variale nur in Abhängigkeit der anderen angeben können. t steht für eine frei wählbare Zahl.
45 Mit dieser Wahl ergibt sich durch Einsetzen von z = t in die 2. Zeile y + t = 2, umgestellt nach y erhält man y = 2 - t.
46 Durch Einsetzen von y = 2 - t in die 1. Zeile erhält man {{formula}} x + 2 - t + t = 4 \Rightarrow x=2 {{/formula}}
47 **Lösungsmenge:** {{formula}} L=\{(2; 2-t; t)|t \in \mathbb{R} \} {{/formula}}
48 Hinweis: Man kann auch y als Parameter t wählen. Dadurch erhält man eine andere Darstellung des Lösungsvektors, der aber dieselbe Lösung darstellt.