Lösung Lösungsvielfalt

Gegeben sind 3 lineare Gleichungssysteme in Matrixschreibweise in Stufenform. Gebe jeweils die Lösungsvielfalt sowie die Lösungsmenge der Gleichungssysteme an.

1. 
   Das zugehörige lineare Gleichungssystem zu folgender Matrixschreibeise lautet:
   \(\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 &1\end{array}\right) \Longleftrightarrow \begin{aligned} x + y + z &= 4 \\ y + z &= 2 \\ z &= 1 \end{aligned}\)
   Aus der 3. Zeile folgt sofort \( z=1 \).
   Durch Einsetzen von \( z=1 \) in die 2. Zeile folgt \( y + 1 = 2 \Rightarrow y=1 \)
   Durch Einsetzen von \( z=1 \) und \( y=1 \) in die 2. Zeile folgt \( x + 1 + 1 = 4 \Rightarrow x=2 \)
   Lösungsmenge:  \( L=\{(2;1;1)\} \)
2. 
   Das zugehörige lineare Gleichungssystem zu folgender Matrixschreibeise lautet:
   \(\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 3\\0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 &2\end{array}\right) \Longleftrightarrow \begin{aligned} x + y + z &= 3 \\ y + z &= 1 \\ 0 &= 2 \end{aligned}\)
   Die 3. Zeile liefert die Gleichung 0 = 2, die nie wahr ist. Daher ist das Lineare Gleichungssystem nicht lösbar.
   Lösungsmenge:  \( L=\{\} \)
3. 
   Das zugehörige lineare Gleichungssystem zu folgender Matrixschreibeise lautet:
   \(\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4\\0 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 &0\end{array}\right) \Longleftrightarrow \begin{aligned} x + y + z &= 4 \\ y + z &= 2 \\ 0 &= 0 \end{aligned}\)
   Das lineare Gleichunggsystem hat aufgrund der Nullzeile in der 3. Zeile unendlich viele Lösungen. Der Grund ist, dass wir 3 Variablen, aber nur 2 unabhängige Gleichungen gegeben haben (die Nullzeile liefert keine weitere Information).
   Bestimmung der Lösung:
   Setze eine der 2 Variablen in der 2. Zeile als Parameter, z.B. z = t. Der Hintergrund davon ist, dass wir eine Variale nur in Abhängigkeit der anderen angeben können. t steht für eine frei wählbare Zahl.
   Mit dieser Wahl ergibt sich durch Einsetzen von z = t in die 2. Zeile y + t = 2, umgestellt nach y erhält man y = 2 - t.
   Durch Einsetzen von y = 2 - t in die 1. Zeile erhält man \( x + 2 - t + t = 4 \Rightarrow x=2 \)
   Lösungsmenge: \( L=\{(2; 2-t; t)|t \in \mathbb{R} \} \)
   Hinweis: Man kann auch y als Parameter t wählen. Dadurch erhält man eine andere Darstellung des Lösungsvektors, der aber dieselbe Lösung darstellt.