Lösung Funktionsterme finden

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2023/10/31 05:30

Bei manchen Aufgaben ist es geschickt sich die Symmetrieeigenschaften z.B. Achsensymmetrie bzw. Punktsymmetrie
zunutze zu machen. Durch diese Eigenschaft lassen sich manchmal weitere Größen bzw. Merkmale gewinnen, die bei der Lösung der Aufgabe helfen können.

Ermittle einen Funktionsterm, der zur y-Achse symmetrisch ist und die beiden einfachen Nullstellen bei \(x = 1\) und \(x = 3\) besitzt.
Da die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, muss die Funktion neben den beiden einfachen Nullstellen bei 1 und 3 auch einfache Nullstellen bei -1 und -3 besitzen. Zum Beispiel erfüllt das Schaubild des Funktionsterms f mit \(f(x)=2(x-1)(x-3)(x+1)(x+3)\) die gesuchten Bedingungen.
Ermittle einen Funktionsterm, der punktsymmetrisch zum Ursprung ist und eine doppelte Nullstelle bei \(x = 2\) besitzt.
Da die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist, muss die Funktion neben der doppelten Nullstelle bei 2 eine Nullstelle bei 0 und auch eine doppelte Nullstelle bei -2 besitzen, welche im Vergleich zur Nullstelle bei 2 an der x-Achse gespiegelt sein muss. Diese Bedingungen erfüllt beispielsweise die Funktion f mit \(f(x)=3(x-2)^2x(x+2)^2\).