Lösung Kugelziehung

Aufgabe 1  Kugelziehung

In einer Urne befinden sich zwei rote und drei blaue Kugeln. Ziehe zwei Kugeln nacheinander ohne Zurücklegen. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Ereignisse:

a) Beide Kugeln sind rot.  
Lösung:  
Die Wahrscheinlichkeit ist $P = \frac{2}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{10}$.

b) Eine Kugel ist rot und eine ist blau.  
Lösung:  
Die Wahrscheinlichkeit ist $P = \left(\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}\right) + \left(\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}\right) = \frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

c) Beide Kugeln sind blau.  
Lösung:  
Die Wahrscheinlichkeit ist $P = \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = \frac{3}{10}$.

*Hinweis: Zeichne ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung.*

Aufgabe 2  Baumdiagramm

Ein Glücksrad hat die Farben Rot, Blau und Gelb. Die Wahrscheinlichkeiten sind wie folgt:

- Rot: 50%
- Blau: 30%
- Gelb: 20%

a) Zeichne ein Baumdiagramm für zwei Umdrehungen des Glücksrads.  
Lösung:  
(Zeichne das Baumdiagramm)

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es zuerst Rot und dann Blau zeigt.  
Lösung:  
$P = 0,5 \cdot 0,3 = 0,15$.

c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass es zweimal Gelb zeigt.  
Lösung:  
$P = 0,2 \cdot 0,2 = 0,04$.

Aufgabe 3  Wahrscheinlichkeitsgeschichten

Marie und Sophia ziehen nacheinander Bonbons aus einer Tüte. In der Tüte sind 4 Himbeer- und 6 Zitronenbonbons.

a) Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass Marie ein Himbeerbonbon zieht und Sophia danach ein Zitronenbonbon.  
Lösung:  
$P = \frac{4}{10} \cdot \frac{6}{9} = \frac{24}{90} = \frac{4}{15}$.

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide ein Himbeerbonbon ziehen.  
Lösung:  
$P = \frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9} = \frac{12}{90} = \frac{2}{15}$.

c) Erstelle eine kurze Geschichte, in der diese Wahrscheinlichkeiten vorkommen.  
Lösung:  
(Die Schüler können eigene Geschichten schreiben)

Aufgabe 4  Wahrscheinlichkeitskarten

Erstelle ein Kartenspiel mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

- Karte A: 0,2 (Ereignis tritt ein)
- Karte B: 0,5 (Ereignis tritt ein)
- Karte C: 0,3 (Ereignis tritt ein)

a) Berechne die Gesamtwahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Karte ein Ereignis zeigt.  
Lösung:  
$P = 1 - (1 - 0,2)(1 - 0,5)(1 - 0,3) = 1 - (0,8 \cdot 0,5 \cdot 0,7) = 1 - 0,28 = 0,72$.

b) Ziehe zwei Karten nacheinander ohne Zurücklegen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass beide Karten ein Ereignis zeigen.  
Lösung:  
$P = 0,2 \cdot 0,5 + 0,2 \cdot 0,3 + 0,5 \cdot 0,3 = 0,1 + 0,06 + 0,15 = 0,31$.

Aufgabe 5  Alltagsbeispiele

Denke an eine alltägliche Situation, in der Wahrscheinlichkeiten eine Rolle spielen, z.B. Wettervorhersage oder Sportergebnisse.

a) Beschreibe die Situation und die möglichen Ergebnisse.  
Lösung:  
(Die Schüler können eigene Beispiele geben)

b) Berechne die Wahrscheinlichkeiten für die verschiedenen Ergebnisse.  
Lösung:  
(Die Schüler können eigene Berechnungen anstellen)

c) Erstelle ein Baumdiagramm zur Veranschaulichung.  
Lösung:  
(Die Schüler können eigene Baumdiagramme zeichnen)

Aufgabe 6  Digitale Simulationen

Nutze eine Online-Plattform oder App, um Wahrscheinlichkeiten zu simulieren.

a) Führe eine Simulation durch, bei der du die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer bestimmten Kugelfarbe berechnest.  
Lösung:  
(Die Schüler dokumentieren ihre Ergebnisse)

b) Dokumentiere die Ergebnisse und vergleiche sie mit den theoretischen Wahrscheinlichkeiten.  
Lösung:  
(Die Schüler vergleichen ihre Simulationsergebnisse)

Aufgabe 7  Mathematische Rätsel

Löse das folgende Rätsel:

Ein Würfel wird dreimal geworfen. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal eine Sechs geworfen wird.

a) Erstelle eine Tabelle, um die möglichen Ergebnisse aufzulisten.  
Lösung:  
(Die Schüler erstellen eine Ergebnistabelle)

b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass keine Sechs geworfen wird, und ziehe die Schlussfolgerung.  
Lösung:  
$P(\text{keine Sechs}) = \left(\frac{5}{6}\right)^3 = \frac{125}{216}$.  
$P(\text{mindestens eine Sechs}) = 1 - P(\text{keine Sechs}) = 1 - \frac{125}{216} = \frac{91}{216}$.