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Version 1.1 von Simone Schuetze am 2026/04/30 09:50
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1 Es wird ohne Zurücklegen gezogen.
2 Ein Kartendeck hat 52 Karten, davon jeweils 13 Herz, Karo, Pik und Kreuz.
3
4 a) Insgesamt gibt es:
5
6 {{formula}}\binom{52}{2}=1326{{/formula}}
7
8 mögliche Kartenpaare.
9
10 (% class="border" %)
11 |Ergebnis|Wahrscheinlichkeit|Gewinn|
12 |2 Herz|{{formula}}\frac{\binom{13}{2}}{\binom{52}{2}}=\frac{78}{1326}=\frac{1}{17}{{/formula}}|5 €|
13 |1 Herz und 1 Karo|{{formula}}\frac{13\cdot13}{1326}=\frac{169}{1326}=\frac{13}{102}{{/formula}}|3 €|
14 |1 Karo und 1 Pik|{{formula}}\frac{13\cdot13}{1326}=\frac{169}{1326}=\frac{13}{102}{{/formula}}|-2 €|
15 |alle anderen Kombinationen|{{formula}}1-\frac{1}{17}-\frac{13}{102}-\frac{13}{102}=\frac{35}{51}{{/formula}}|0 €|
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17 (%class=abc%)
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19 b) Erwartungswert berechnen
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21 {{formula}}E(X)=5\cdot\frac{1}{17}+3\cdot\frac{13}{102}+(-2)\cdot\frac{13}{102}+0\cdot\frac{35}{51}{{/formula}}
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23 {{formula}}E(X)=\frac{30}{102}+\frac{39}{102}-\frac{26}{102}{{/formula}}
24
25 {{formula}}E(X)=\frac{43}{102}\approx0{,}42{{/formula}}
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27 Deutung
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29 Der Spieler gewinnt im Durchschnitt etwa 0,42 € pro Spiel.
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31 Das Spiel ist also nicht fair, da der Erwartungswert größer als {{formula}}0{{/formula}} ist.
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33 c) Regeländerung für ein faires Spiel
34 Hier sind verschiedene Lösungen möglich. Man kann z.B. sowohl den Einsatz als auch die Auszahlung verändern.
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36 Der Spieler muss pro Spiel einen Einsatz von etwa 0,42 € bezahlen.
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38 Dann gilt:
39
40 {{formula}}0{,}42-0{,}42=0{{/formula}}
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42 Damit gewinnt oder verliert der Spieler langfristig im Durchschnitt nichts. Das Spiel ist dann fair.