Lösung Ein faires Spiel entwerfen
Version 1.1 von Simone Schuetze am 2026/04/30 09:50
Es wird ohne Zurücklegen gezogen.
Ein Kartendeck hat 52 Karten, davon jeweils 13 Herz, Karo, Pik und Kreuz.
a) Insgesamt gibt es:
\[\binom{52}{2}=1326\]
mögliche Kartenpaare.
| Ergebnis | Wahrscheinlichkeit | Gewinn | |
| 2 Herz | \(\frac{\binom{13}{2}}{\binom{52}{2}}=\frac{78}{1326}=\frac{1}{17}\) | 5 € | |
| 1 Herz und 1 Karo | \(\frac{13\cdot13}{1326}=\frac{169}{1326}=\frac{13}{102}\) | 3 € | |
| 1 Karo und 1 Pik | \(\frac{13\cdot13}{1326}=\frac{169}{1326}=\frac{13}{102}\) | -2 € | |
| alle anderen Kombinationen | \(1-\frac{1}{17}-\frac{13}{102}-\frac{13}{102}=\frac{35}{51}\) | 0 € |
b) Erwartungswert berechnen
\[E(X)=5\cdot\frac{1}{17}+3\cdot\frac{13}{102}+(-2)\cdot\frac{13}{102}+0\cdot\frac{35}{51}\]
\[E(X)=\frac{30}{102}+\frac{39}{102}-\frac{26}{102}\]
\[E(X)=\frac{43}{102}\approx0{,}42\]
Deutung
Der Spieler gewinnt im Durchschnitt etwa 0,42 € pro Spiel.
Das Spiel ist also nicht fair, da der Erwartungswert größer als \(0\) ist.
c) Regeländerung für ein faires Spiel
Hier sind verschiedene Lösungen möglich. Man kann z.B. sowohl den Einsatz als auch die Auszahlung verändern.
Der Spieler muss pro Spiel einen Einsatz von etwa 0,42 € bezahlen.
Dann gilt:
\[0{,}42-0{,}42=0\]
Damit gewinnt oder verliert der Spieler langfristig im Durchschnitt nichts. Das Spiel ist dann fair.