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Version 2.1 von Simone Schuetze am 2026/04/30 09:54
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1 Es wird ohne Zurücklegen gezogen.
2 Ein Kartendeck hat 52 Karten, davon jeweils 13 Herz, Karo, Pik und Kreuz.
3
4 a) Insgesamt gibt es:
5
6 {{formula}}\binom{52}{2}=1326{{/formula}}
7
8 mögliche Kartenpaare.
9
10 (% class="border" %)
11 (% class="border" %)
12 |Ergebnis|2 Herz|1 Herz und 1 Karo|1 Karo und 1 Pik|alle anderen Kombinationen
13 |Gewinn|5 €|3 €|-2 €|0 €
14 |Wahrscheinlichkeit|{{formula}}\frac{1}{17}{{/formula}}|{{formula}}\frac{13}{102}{{/formula}}|{{formula}}\frac{13}{102}{{/formula}}|{{formula}}\frac{35}{51}{{/formula}}
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16 (%class=abc%)
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18 b) Erwartungswert berechnen
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20 {{formula}}E(X)=5\cdot\frac{1}{17}+3\cdot\frac{13}{102}+(-2)\cdot\frac{13}{102}+0\cdot\frac{35}{51}{{/formula}}
21
22 {{formula}}E(X)=\frac{30}{102}+\frac{39}{102}-\frac{26}{102}{{/formula}}
23
24 {{formula}}E(X)=\frac{43}{102}\approx0{,}42{{/formula}}
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26 Deutung
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28 Der Spieler gewinnt im Durchschnitt etwa 0,42 € pro Spiel.
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30 Das Spiel ist also nicht fair, da der Erwartungswert größer als {{formula}}0{{/formula}} ist.
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32 c) Regeländerung für ein faires Spiel
33 Hier sind verschiedene Lösungen möglich. Man kann z.B. sowohl den Einsatz als auch die Auszahlung verändern.
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35 Der Spieler muss pro Spiel einen Einsatz von etwa 0,42 € bezahlen.
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37 Dann gilt:
38
39 {{formula}}0{,}42-0{,}42=0{{/formula}}
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41 Damit gewinnt oder verliert der Spieler langfristig im Durchschnitt nichts. Das Spiel ist dann fair.