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Version 4.1 von Simone Schuetze am 2026/04/30 11:44
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1 a)
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3 //Hinweis//Ein Baumdiagramm und eine Wahrscheinlichkeitsverteilung sind nicht gefordert, können aber helfen, die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ereignisse übersichtlich zu bestimmen.
4 [[image:BaumdiagrammE2.png||width=600]]
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6 Wahrscheinlichkeitsverteilung
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8 (% class="border" %)
9 |Ereignis|zwei rote Kugeln|eine rote und eine blaue Kugel|alle anderen Ergebnisse
10 |Gewinn|4 €-1 €=3 €|2 €-1 €=1 €|0 €-1 €=-1 €
11 |Wahrscheinlichkeit|{{formula}}\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}=\frac{6}{30}=\frac{1}{5}{{/formula}}|{{formula}}\frac{3}{6}\cdot\frac{2}{5}+\frac{2}{6}\cdot\frac{3}{5}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}{{/formula}}|{{formula}}1-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}=\frac{2}{5}{{/formula}}
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13 **Erwartungswert**
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15 {{formula}}E(X)=3\cdot\frac{1}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+(-1)\cdot\frac{2}{5}{{/formula}}
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17 {{formula}}E(X)=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=\frac{3}{5}=0{,}6{{/formula}}
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19 Begründung
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21 Das Spiel ist nicht fair, da der Erwartungswert nicht {{formula}}0{{/formula}} ist.
22 Du gewinnst langfristig im Durchschnitt 0,6 € pro Spiel.
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24 b)
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26 Sei {{formula}}a{{/formula}} die neue Auszahlung bei zwei roten Kugeln.
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28 Neue Wahrscheinlichkeitsverteilung
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30 (% class="border" %)
31 |Ereignis|zwei rote Kugeln|eine rote und eine blaue Kugel|alle anderen Ergebnisse
32 |Gewinn|{{formula}}a-1{{/formula}}|1 €|1 e
33 |Wahrscheinlichkeit|{{formula}}\frac{1}{5}{{/formula}}|{{formula}}\frac{2}{5}{{/formula}}|{{formula}}\frac{2}{5}{{/formula}}
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35 Bedingung für ein faires Spiel
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37 {{formula}}E(X)=0{{/formula}}
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39 {{formula}}(a-1)\cdot\frac{1}{5}+1\cdot\frac{2}{5}+(-1)\cdot\frac{2}{5}=0{{/formula}}
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41 Gleichung lösen
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43 {{formula}}\frac{a-1}{5}+\frac{2}{5}-\frac{2}{5}=0{{/formula}}
44
45 {{formula}}\frac{a-1}{5}=0{{/formula}}
46
47 {{formula}}a-1=0{{/formula}}
48
49 {{formula}}a=1{{/formula}}
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51 Deutung
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53 Die Auszahlung für „zwei rote Kugeln“ muss auf 1 € geändert werden.
54 Dann ist der durchschnittliche Gewinn 0 €, also ist das Spiel fair.