BPE 12 Einheitsübergreifend

1  Fermiaufgabe Großer Mund  (20 min) 𝕃

1. Bestimme wie groß ein Mensch wäre, zu dem dieser Mund gehört.
2. Ermittle wie schwer ein solcher Mensch wäre.

2  Potenzgesetze entdecken – gleicher Exponent vs. gleiche Basis (grundlegend)  (10 min)

Betrachte die folgenden Terme:

1. \(2^3 \cdot 2^4\)
2. \(2^3 \cdot 3^3\)
3. \((2 \cdot 3)^3\)

a) Berechne die Werte der drei Terme.  

b) Zwei der Terme haben denselben Wert.  
Ordne diese beiden Terme einander zu und begründe, warum sie gleich sind.  

c) Erkläre mit Worten, wodurch sich die beiden verschiedenen Arten von Produkten unterscheiden:
- gleiche Basis,
- gleicher Exponent.

3  Potenzgesetze begründen und verallgemeinern (erhöht)  (12 min)

Gegeben sind die folgenden Terme:

1. \(a^n \cdot a^m\)
2. \(a^n \cdot b^n\)
3. \((ab)^n\)
4. \(a^{n+m}\)

a) Ordne die Terme so, dass jeweils diejenigen zusammenstehen, die auf dieselbe Weise entstehen.  
Begründe deine Zuordnung, ohne bekannte Rechenregeln zu zitieren.  

b) Erkläre anhand der Bedeutung von Potenzen, warum
\(a^n \cdot b^n = (ab)^n\)
gilt, aber
\(a^n \cdot b^m\)
im Allgemeinen nicht vereinfacht werden kann.  

c) Formuliere zwei unterschiedliche allgemeine Aussagen zu Potenzen und beschreibe jeweils,
welche Voraussetzung erfüllt sein muss, damit sie gelten.