BPE 12 Einheitsübergreifend

1  Fermiaufgabe Großer Mund  (20 min) 𝕃

1. Bestimme wie groß ein Mensch wäre, zu dem dieser Mund gehört.
2. Ermittle wie schwer ein solcher Mensch wäre.

2  Potenzgesetze entdecken – Struktur statt Ergebnis  (12 min)

Betrachte die folgenden Terme:

1. \(2^3 \cdot 2^4\)
   2. \(2^7\)
   3. \(2^3 \cdot 3^3\)
   4. \((2 \cdot 3)^3\)
   5. \(2^4 \cdot 3^3\)
   6. \(3^3 \cdot 2^3\)

1. Finde alle Paare von Termen, die denselben Wert haben.
2. Begründe für jedes gefundene Paar, warum die beiden Terme gleich sind.  
     Rechne dabei keine Zahlen aus, sondern argumentiere nur mit
      – der Zerlegung von Potenzen in Faktoren und  
      – der Umordnung von Faktoren.
3. Untersuche, ob es einen Term gibt, der keinen Partner mit gleichem Wert hat.  
      Falls ja, nenne ihn und begründe, warum er zu keinem der anderen Terme passt.  
      Falls nein, erkläre, warum alle Terme einem Paar zugeordnet werden können.
4. Ein Schüler behauptet:  
      *„Bei Potenzen darf man die Exponenten immer addieren.“*  
      Prüfe diese Aussage an zwei passenden Beispielen aus der Liste:
      – eines, bei dem die Aussage zutrifft,  
      – eines, bei dem sie falsch ist.  
      Begründe jeweils mit der Struktur der Terme.

3  Potenzgesetze strukturieren und begründen  (12 min)

Gegeben sind die folgenden Terme:

1. \(a^n \cdot a^m\)
   2. \(a^{n+m}\)
   3. \(a^n \cdot b^n\)
   4. \((ab)^n\)
   5. \(a^m \cdot b^n\)
   6. \(b^n \cdot a^n\)

1. Finde alle Paare von Termen, die unabhängig von der Wahl der Zahlen  
   \(a,b\) und der Exponenten \(m,n\) denselben Wert haben.
2. Begründe jede gefundene Gleichheit ohne Ausrechnen,  
   indem du die Bedeutung von Potenzen als Produkte gleicher Faktoren nutzt.
3. Untersuche, ob es einen Term gibt, der zu keinem der anderen passt.  
   Begründe deine Entscheidung allgemein.
4. Beurteile die folgende Aussage:
   *„Beim Multiplizieren von Potenzen kann man die Exponenten immer addieren.“*  
   Formuliere:
   – einen Fall, in dem die Aussage gilt,  
   – einen Fall, in dem sie nicht gilt,  
   und erkläre jeweils warum.