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Version 235.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/23 22:52
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7
8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9
10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 (% style="list-style: alphastyle" %)
12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 {{/aufgabe}}
15
16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 (% style="list-style: alphastyle" %)
18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 (% style="list-style: alphastyle" %)
25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 {{/aufgabe}}
34
35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36
37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge: | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
39 (% style="list-style: alphastyle" %)
40 1. Stelle die fünf Zahlen der Folge in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
41 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster der Potenzdarstellung.
42 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
43 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
44 {{/aufgabe}}
45
46 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Zuordnung begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="3" quelle="nach Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
47 Gegeben ist die folgende Zahlenfolge:
48
49 | 8 | 4 | 2 | 1 | {{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} | {{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}} |
50
51
52 Außerdem sind die ersten vier Werte wie folgt dargestellt:
53 {{formula}}8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 2 = 2^1,\quad 1 = 2^0{{/formula}}
54
55 (% style="list-style: alphastyle" %)
56 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge.
57
58 1. Ergänze eine passende Potenzschreibweise für die beiden letzten Zahlen.
59
60 1. Erläutere, warum deine Fortsetzung der Exponenten sinnvoll zur Zahlenfolge passt.
61 {{/aufgabe}}
62
63 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Fortsetzung begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="3" quelle="nach Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
64 Gegeben ist die folgende Wertetabelle:
65
66 | {{formula}}3^3{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} |
67 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
68
69 (% style="list-style: alphastyle" %)
70 1. Ergänze die Tabelle so, dass das Muster von links nach rechts sinnvoll fortgesetzt wird.
71 1. Beschreibe das entstehende Muster.
72 1. Bestimme die fehlenden Exponenten und begründe, warum diese Fortsetzung sinnvoll ist.
73 {{/aufgabe}}
74
75 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
76 Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
77 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
78 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
82 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
83 (% style="list-style: alphastyle" %)
84 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
85 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
86 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
87 1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
88 {{/aufgabe}}
89
90 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
91 Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
92 {{/aufgabe}}
93
94 {{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
95 Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
96 (% style="list-style: alphastyle" %)
97 1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
98 Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
99 1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
100 {{/aufgabe}}
101
102 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
103
104 {{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
105 Führe fort ..
106
107 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
108 | 16 | 4 | 2 | | | |
109 {{/aufgabe}}
110
111
112 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
113 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
114 (% style="list-style: alphastyle" %)
115 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
116 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
117 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
118 1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
119 {{/aufgabe}}
120
121 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
122 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
123 (% style="list-style: alphastyle" %)
124 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
125 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
126 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
127 {{/aufgabe}}
128
129 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
130 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
131 (% style="list-style: alphastyle" %)
132 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
133 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
134 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
135 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
136 {{/aufgabe}}
137
138 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
139
140 {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
141 Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
142
143 (% class="abc" %)
144 1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
145 1. in Prozent
146 1. als vollständig gekürzter Bruch
147 1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
148 1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
149 1. als Zahl in Normdarstellung)))
150 1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
151 {{/aufgabe}}
152
153 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
154
155 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
156 Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
157
158 (% class="abc" %)
159 1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
160 1. Nenne die Namen der Zahlen.
161 {{/aufgabe}}
162
163 {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
164 Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
165
166 Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
167 Länge eines Fußballfeldes
168 Durchmesser eines Atoms
169 Dicke eines menschlichen Haares
170
171 (% class="abc" %)
172 1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
173 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
174 {{/aufgabe}}
175
176
177 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
178 (% class="abc" %)
179 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
180 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
181 1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
182 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
183 [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
184 {{/aufgabe}}
185
186 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}