BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

1  Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen  (2 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \((-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4\).
2. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

2  Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen  (3 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \(2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2\).
2. Untersuche die Gleichung \(a^b = b^a\). Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

3  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Terme \((5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1\).

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen \((a^m)^n\) und einer Potenz der Form \(a^k\) und gib an, wie sich der Exponent \(k\) aus \(m\) und \(n\) ergibt.

4  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen  (4 min) 𝕃

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^4\) das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
2. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^6\) das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

5  Zahlenfolge und Potenzschreibweise  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
4. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

6  Negative Exponenten – Zuordnung begründen  (3 min)

Gegeben ist die folgende Zahlenfolge:

Außerdem sind die ersten vier Werte wie folgt dargestellt:
\(8 = 2^3,\quad 4 = 2^2,\quad 2 = 2^1,\quad 1 = 2^0\)

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge.

1. Ergänze eine passende Potenzschreibweise für die beiden letzten Zahlen.

1. Erläutere, warum deine Fortsetzung der Exponenten sinnvoll zur Zahlenfolge passt.

7  Negative Exponenten – Fortsetzung begründen  (3 min)

Gegeben ist die folgende Wertetabelle:

1. Ergänze die Tabelle so, dass das Muster von links nach rechts sinnvoll fortgesetzt wird.
2. Beschreibe das entstehende Muster.
3. Bestimme die fehlenden Exponenten und begründe, warum diese Fortsetzung sinnvoll ist.

8  Wertetabelle mit negativen Exponenten  (2 min) 𝕃

Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:

9  Von der Potenz zum Bruch  (2 min) 𝕃

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

1. \(3^{-5}\)
2. \( a^{-b}\)
3. \(8 \cdot b^{-2}\)
4. \(27^{-\frac{1}{3}} \)

10  Vom Bruch zum negativen Exponenten  (1 min) 𝕃

Nenne die Potenzschreibweise von \( \frac{1}{8} \).

11  Aussage zu rationalen Exponenten begründen  (5 min) 𝕃

Ein Schüler behauptet: „\(x^{-1}\) ist dasselbe wie \(-x\).“

1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
   Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
2. Erläutere, warum der Term \(0^{-1}\) nicht definiert ist.

12  Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen  (3 min) 𝕃

Führe fort ..

13  Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(81^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(0,0016^{\frac{1}{4}}\)
4. \(a^{\frac{8}{3}}\)

14  Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(\sqrt{3^5}\)
2. \(\sqrt[4]{9^2}\)
3. \(\sqrt[a]{b^c}\)

15  Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise  (3 min) 𝕃

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

1. \(a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}\)
2. \(\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}\)
3. \(\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}\)
4. \(\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}\)

16  Darstellungwechsel begründen  (6 min) 𝕃

Gegeben ist die Zahl \( 0,0004 \).

1. Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:

   1. in Prozent
   2. als vollständig gekürzter Bruch
   3. als Zahl mit negativem Exponenten der Form \(x^{-2}\)
   4. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
   5. als Zahl in Normdarstellung
2. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.

17  Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen  (3 min) 𝕃

Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en \(123 \cdot 10^{12}\) und \(7,32 \cdot 10^{10}\).

1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
2. Nenne die Namen der Zahlen.

18  Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen  (3 min) 𝕃

Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en \(7 \cdot 10^{-5}\), \(1 \cdot 10^{2}\) und \(1 \cdot 10^{-10}\).

Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
Länge eines Fußballfeldes
Durchmesser eines Atoms
Dicke eines menschlichen Haares

1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
2. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.

19  Normdarstellung des Taschenrechners  (4 min) 𝕃

1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
   
2. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.