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Version 243.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 00:42
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7
8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9
10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 (% style="list-style: alphastyle" %)
12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 {{/aufgabe}}
15
16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 (% style="list-style: alphastyle" %)
18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 (% style="list-style: alphastyle" %)
25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 {{/aufgabe}}
34
35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36
37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 (% style="list-style: alphastyle" %)
41 1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 {{/aufgabe}}
46
47 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
48 Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
49 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
50 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
51 {{/aufgabe}}
52
53 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
55 (% style="list-style: alphastyle" %)
56 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
57 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
58 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
59 {{/aufgabe}}
60
61 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
62 Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
63 {{/aufgabe}}
64
65 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
73
74 (% style="list-style: alphastyle" %)
75 1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86
87 (% style="list-style: alphastyle" %)
88 1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 {{/aufgabe}}
92
93 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94
95 {{aufgabe id="Wurzeln und Potenzen – passende Zahlen finden" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Eigenentwicklung" cc="BY-SA"}}
96 Gegeben sind Gleichungen der Form {{formula}}x^n = a{{/formula}}.
97
98 (% style="list-style: alphastyle" %)
99 1. Bestimme jeweils eine passende Zahl {{formula}}x{{/formula}}:
100 {{formula}}x^2 = 9,\quad x^3 = 8,\quad x^4 = 16{{/formula}}
101 1. Beschreibe, wie sich {{formula}}x{{/formula}} aus {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} bestimmen lässt.
102 1. Ergänze die folgende Tabelle:
103 | {{formula}}a{{/formula}} | 9 | 8 | 16 |
104 | {{formula}}n{{/formula}} | 2 | 3 | 4 |
105 | {{formula}}x{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
106 | {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
107 1. Erläutere, warum die Darstellung {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} eine sinnvolle Beschreibung für die gesuchten Zahlen ist.
108 {{/aufgabe}}
109
110 {{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
111 Führe fort ..
112
113 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
114 | 16 | 4 | 2 | | | |
115 {{/aufgabe}}
116
117
118 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
119 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
120 (% style="list-style: alphastyle" %)
121 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
122 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
123 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
124 1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
125 {{/aufgabe}}
126
127 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
128 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
129 (% style="list-style: alphastyle" %)
130 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
131 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
132 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
133 {{/aufgabe}}
134
135 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
136 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
137 (% style="list-style: alphastyle" %)
138 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
139 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
140 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
141 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
142 {{/aufgabe}}
143
144 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
145
146 {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
147 Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
148
149 (% class="abc" %)
150 1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
151 1. in Prozent
152 1. als vollständig gekürzter Bruch
153 1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
154 1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
155 1. als Zahl in Normdarstellung)))
156 1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
157 {{/aufgabe}}
158
159 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
160
161 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
162 Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
163
164 (% class="abc" %)
165 1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
166 1. Nenne die Namen der Zahlen.
167 {{/aufgabe}}
168
169 {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
170 Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
171
172 Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
173 Länge eines Fußballfeldes
174 Durchmesser eines Atoms
175 Dicke eines menschlichen Haares
176
177 (% class="abc" %)
178 1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
179 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
180 {{/aufgabe}}
181
182
183 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
184 (% class="abc" %)
185 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
186 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
187 1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
188 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
189 [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
190 {{/aufgabe}}
191
192 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}