BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.

4

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.

5

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.

6

[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.

7

8

== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==

9

10

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

11

(% style="list-style: alphastyle" %)

12

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.

13

1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

14

15

16

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

17

(% style="list-style: alphastyle" %)

18

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.

19

1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

20

21

22

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

23

Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.

24

(% style="list-style: alphastyle" %)

25

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.

26

1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.

27

28

29

{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

30

(% style="list-style: alphastyle" %)

31

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

32

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

33

34

35

== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==

36

37

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

38

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

39

| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |

40

(% style="list-style: alphastyle" %)

41

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.

42

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

43

1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.

44

1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

45

46

47

{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}

48

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

49

| {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}

50

| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}

51

52

53

{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

54

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

55

(% style="list-style: alphastyle" %)

56

1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}

57

1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}

58

1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}

59

60

61

{{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}

62

Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.

63

64

65

{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

66

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:

67

S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.

68

S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.

69

S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.

70

S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.

71

S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.

72

S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.

73

74

(% style="list-style: alphastyle" %)

75

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.

76

1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.

77

1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.

78

1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.

79

80

81

{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}

82

Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):

83

G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}

84

G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}

85

G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}

86

87

(% style="list-style: alphastyle" %)

88

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.

89

1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}

90

1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.

91

92

93

== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==

94

95

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

96

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

97

| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

98

99

(% style="list-style: alphastyle" %)

100

1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.

101

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

102

1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.

103

1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.

104

105

106

{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

107

Gegeben sind die Gleichungen:

108

{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}

109

(% style="list-style: alphastyle" %)

110

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.

111

1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.

112

1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

113

114

115

{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}

116

Ergänze die Wertetabelle:

117

118

| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |

119

| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

120

121

122

{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

123

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

124

(% style="list-style: alphastyle" %)

125

1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}

126

1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}

127

1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}

128

129

130

{{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}

131

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

132

(% style="list-style: alphastyle" %)

133

1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}

134

1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}

135

1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}

136

137

138

== Potenzen mit rationalen Exponenten ==

139

140

{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

141

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

142

| 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |

143

144

(% style="list-style: alphastyle" %)

145

1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.

146

1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.

147

1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.

148

1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.

149

150

151

{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

152

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:

153

{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}

154

155

(% style="list-style: alphastyle" %)

156

1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.

157

1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.

158

1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).

159

1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.

160

161

162

{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}

163

Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.

164

165

(% style="list-style: alphastyle" %)

166

1. Berechne:

167

{{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}

168

1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.

169

170

171

{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}

172

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

173

(% style="list-style: alphastyle" %)

174

1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}

175

1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}

176

1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}

177

1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}

178

179

180

== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==

181

182

{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}

183

Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.

184

185

(% class="abc" %)

186

1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.

187

1. Nenne die Namen der Zahlen.

188

189

190

{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}

191

Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.

192

193

Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:

194

Länge eines Fußballfeldes

195

Durchmesser eines Atoms

196

Dicke eines menschlichen Haares

197

198

(% class="abc" %)

199

1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.

200

1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.

201

202

203

{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}

204

Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.

205

206

(% class="abc" %)

207

1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:

208

1. in Prozent

209

1. als vollständig gekürzter Bruch

210

1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}

211

1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)

212

1. als Zahl in Normdarstellung)))

213

1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.

214

215

216

{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}

217

(% class="abc" %)

218

1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.

219

[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]

220

1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.

221

[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]

222

[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]

223

224

225

{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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		1	{{seiteninhalt/}}
		2
		3	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
		4	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
		5	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
		6	[[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
		7
		8	== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
		9
		10	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		11	(% style="list-style: alphastyle" %)
		12	1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
		13	1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
		14	{{/aufgabe}}
		15
		16	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		17	(% style="list-style: alphastyle" %)
		18	1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
		19	1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
		20	{{/aufgabe}}
		21
		22	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		23	Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
		24	(% style="list-style: alphastyle" %)
		25	1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
		26	1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
		27	{{/aufgabe}}
		28
		29	{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		30	(% style="list-style: alphastyle" %)
		31	1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
		32	1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
		33	{{/aufgabe}}
		34
		35	== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
		36
		37	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		38	Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
		39	\| 16 \| 8 \| 4 \| 2 \| 1 \|
		40	(% style="list-style: alphastyle" %)
		41	1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
		42	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		43	1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
		44	1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
		45	{{/aufgabe}}
		46
		47	{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
		48	Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
		49	\| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}3^2{{/formula}} \| {{formula}}3^1{{/formula}} \| {{formula}}3^0{{/formula}} \| {{formula}}3^{-1}{{/formula}} \| {{formula}}3^{-2}{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}}
		50	\| 27 \| 9 \| 3 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|{{formula}}\square{{/formula}}\| {{formula}}\square{{/formula}}
		51	{{/aufgabe}}
		52
		53	{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		54	Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
		55	(% style="list-style: alphastyle" %)
		56	1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
		57	1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
		58	1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
		59	{{/aufgabe}}
		60
		61	{{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
		62	Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
		63	{{/aufgabe}}
		64
		65	{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		66	Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
		67	S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
		68	S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
		69	S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
		70	S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
		71	S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
		72	S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
		73
		74	(% style="list-style: alphastyle" %)
		75	1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
		76	1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
		77	1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
		78	1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
		79	{{/aufgabe}}
		80
		81	{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
		82	Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
		83	G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
		84	G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
		85	G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
		86
		87	(% style="list-style: alphastyle" %)
		88	1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
		89	1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
		90	1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
		91	{{/aufgabe}}
		92
		93	== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
		94
		95	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		96	Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
		97	\| 256 \| 16 \| 4 \| 2 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		98
		99	(% style="list-style: alphastyle" %)
		100	1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
		101	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		102	1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
		103	1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
		104	{{/aufgabe}}
		105
		106	{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		107	Gegeben sind die Gleichungen:
		108	{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
		109	(% style="list-style: alphastyle" %)
		110	1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
		111	1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
		112	1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
		113	{{/aufgabe}}
		114
		115	{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		116	Ergänze die Wertetabelle:
		117
		118	\| {{formula}}2^4{{/formula}} \| {{formula}}2^2{{/formula}} \| {{formula}}2^1{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} \| {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} \|
		119	\| 16 \| 4 \| 2 \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		120	{{/aufgabe}}
		121
		122	{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		123	Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
		124	(% style="list-style: alphastyle" %)
		125	1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
		126	1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
		127	1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
		128	{{/aufgabe}}
		129
		130	{{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
		131	Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
		132	(% style="list-style: alphastyle" %)
		133	1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
		134	1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
		135	1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
		136	{{/aufgabe}}
		137
		138	== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
		139
		140	{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		141	Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
		142	\| 4 \| 2 \| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \| {{formula}}\square{{/formula}} \|
		143
		144	(% style="list-style: alphastyle" %)
		145	1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
		146	1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
		147	1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
		148	1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
		149	{{/aufgabe}}
		150
		151	{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		152	Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
		153	{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
		154
		155	(% style="list-style: alphastyle" %)
		156	1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
		157	1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
		158	1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
		159	1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
		160	{{/aufgabe}}
		161
		162	{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
		163	Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
		164
		165	(% style="list-style: alphastyle" %)
		166	1. Berechne:
		167	{{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
		168	1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
		169	{{/aufgabe}}
		170
		171	{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
		172	Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
		173	(% style="list-style: alphastyle" %)
		174	1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
		175	1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
		176	1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
		177	1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
		178	{{/aufgabe}}
		179
		180	== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
		181
		182	{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		183	Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
		184
		185	(% class="abc" %)
		186	1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
		187	1. Nenne die Namen der Zahlen.
		188	{{/aufgabe}}
		189
		190	{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
		191	Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
		192
		193	Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
		194	Länge eines Fußballfeldes
		195	Durchmesser eines Atoms
		196	Dicke eines menschlichen Haares
		197
		198	(% class="abc" %)
		199	1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
		200	1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
		201	{{/aufgabe}}
		202
		203	{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
		204	Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
		205
		206	(% class="abc" %)
		207	1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
		208	1. in Prozent
		209	1. als vollständig gekürzter Bruch
		210	1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
		211	1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
		212	1. als Zahl in Normdarstellung)))
		213	1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
		214	{{/aufgabe}}
		215
		216	{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
		217	(% class="abc" %)
		218	1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
		219	[[image:Taschenrechnerdisplay.png\|\|width="100"]]
		220	1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
		221	[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png\|\|width="100"]]
		222	[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png\|\|width="100"]]
		223	{{/aufgabe}}
		224
		225	{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

Wiki-Quellcode von BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung