Lösung Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen

S1: \(b=3\)  
\(3^n=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}\), also:  
\(\frac{1}{81}=3^{-4}\)

S2: \(b=\frac{1}{3}\)  
\(\left(\frac{1}{3}\right)^4=\frac{1}{81}\), also:  
\(\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{3}\right)^4\)

S3: \(b=9\)  
\(9^{-2}=\frac{1}{9^2}=\frac{1}{81}\), also:  
\(\frac{1}{81}=9^{-2}\)

S4: \(n=2\)  
\(\left(\frac{1}{9}\right)^2=\frac{1}{81}\), also:  
\(\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{9}\right)^2\)

S5: \(n=-4\)  
\(3^{-4}=\frac{1}{3^4}=\frac{1}{81}\), also:  
\(\frac{1}{81}=3^{-4}\)

S6: \(n=-1\)  
\(81^{-1}=\frac{1}{81}\), also:  
\(\frac{1}{81}=81^{-1}\)

Es stimmen überein:
\(3^{-4}\) aus S1 und S5.

Außerdem beschreiben alle gefundenen Darstellungen denselben Wert:
\(\frac{1}{81} = 3^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^4 = 9^{-2} = \left(\frac{1}{9}\right)^2 = 81^{-1}\)

Beispiel 1:
\(3^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^4\)

Ersetzt man die Basis \(3\) durch ihren Kehrbruch \(\frac{1}{3}\), so ändert sich der Exponent von \(-4\) zu \(4\).

Beispiel 2:
\(9^{-2} = \left(\frac{1}{9}\right)^2\)

Auch hier wird beim Ersetzen der Basis durch ihren Kehrbruch das Vorzeichen des Exponenten gewechselt.

Eine weitere Darstellung ist zum Beispiel:
\(\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{81}\right)^1\)

Weitere mögliche Darstellung:
\(\frac{1}{81}=81^{-1}\), falls diese nicht bereits verwendet wurde.