Lösung Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen

Methode Vergleich von Basis und Exponent; vgl. Koeffizientenvergleich:
S1: Für \(b=3\) gilt \(n=-4\), denn \(3^n=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}\).

S2: Für \(b=\frac{1}{3}\) gilt \(n=+4\), denn \(\left(\frac{1}{3}\right)^n=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=\left(\frac{1}{3}\right)^4\).

S3: Für \(b=9\) gilt \(n=-2\), denn \(9^{n}=\frac{1}{81}=\frac{1}{9^2}=9^{-2}\).

S4: Für \(n=2\) gilt \(b=\frac{1}{9}\), denn \(b^2=\frac{1}{81}=\frac{1}{9^2}=\left(\frac{1}{9}\right)^2\).

S5: Für \(n=-4\) gilt \(b=3\), denn \(b^{-4}=\frac{1}{81}=\frac{1}{3^4}=3^{-4}\).

S6: Für \(n=-1\) gilt \(b=81\), denn \(b^{-1}=\frac{1}{81}=81^{-1}\).

Alle gefundenen Darstellungen beschreiben denselben Wert:

Es stimmen überein: \(3^{-4}\) aus S1 und S5.

Beispiel 1: \(3^{-4} = \left(\frac{1}{3}\right)^4\). Ersetzt man die Basis \(3\) durch ihren Kehrbruch \(\frac{1}{3}\), so ändert sich der Exponent von \(-4\) zu \(4\).
Beispiel 2: \(9^{-2} = \left(\frac{1}{9}\right)^2\). Auch hier wird beim Ersetzen der Basis durch ihren Kehrbruch das Vorzeichen des Exponenten gewechselt.

Eine weitere Darstellung ist zum Beispiel:
\(\frac{1}{81}=\left(\frac{1}{81}\right)^1\)

Alternativ z.B.: \(\frac{1}{81}=81^{-1}\), falls diese nicht bereits verwendet wurde.