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Version 4.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/08 00:36
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1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. Drei Lösungswege: ein arithmetischer, ein algebraischer, ein geometrischer.
3 (((**Geschicktes Rechnen.**
4
5 Zunächst wird der gemeinsame Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert:
6
7 {{formula}}
8 30^3+40^3+50^3
9 =(10\cdot 3)^3+(10\cdot 4)^3+(10\cdot 5)^3
10 =10^3\cdot(3^3+4^3+5^3).
11 {{/formula}}
12
13 Nun gilt:
14
15 {{formula}}
16 3^3+4^3+5^3=27+64+125=216=6^3.
17 {{/formula}}
18
19 Damit folgt:
20
21 {{formula}}
22 {30^3+40^3+50^3}
23 {10^3\cdot 6^3}
24 =60^3.
25 {{/formula}}
26 )))
27 (((**Algebraisches Strukturieren.**
28
29 Man nutzt die Identität
30
31 {{formula}}
32 1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2.
33 {{/formula}}
34
35 Für {{formula}}n=5{{/formula}} erhält man:
36
37 {{formula}}
38 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2.
39 {{/formula}}
40
41 Außerdem ist
42
43 {{formula}}
44 1^3+2^3=1+8=9=3^2.
45 {{/formula}}
46
47 Also gilt:
48
49 {{formula}}
50 3^3+4^3+5^3=15^2-3^2.
51 {{/formula}}
52
53 Mit der dritten binomischen Formel folgt:
54
55 {{formula}}
56 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18.
57 {{/formula}}
58
59 Nun wird das Produkt so faktorisiert, dass die dritte Potenz sichtbar wird:
60
61 {{formula}}
62 12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^2\cdot6=6^3.
63 {{/formula}}
64
65 Damit ist gezeigt:
66
67 {{formula}}
68 3^3+4^3+5^3=6^3.
69 {{/formula}}
70
71 Also:
72
73 {{formula}}
74 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
75 =\sqrt[3]{10^3\cdot6^3}
76 =60.
77 {{/formula}}
78 )))
79 (((**Geometrisches Veranschaulichen.**
80
81 Die Terme {{formula}}3^3{{/formula}}, {{formula}}4^3{{/formula}} und {{formula}}5^3{{/formula}} können als Volumina von Würfeln mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} gedeutet werden.
82
83 Die entscheidende Idee ist:
84
85 {{formula}}
86 3^3+4^3+5^3=6^3.
87 {{/formula}}
88
89 Anschaulich bedeutet das: Die drei Würfel mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} sind zusammen volumengleich zu einem Würfel mit Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}}.
90
91 Eine mögliche Vorstellung:
92
93 * Man beginnt mit dem größten Würfel der Kantenlänge {{formula}}5{{/formula}}.
94 * Um daraus einen Würfel der Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} zu machen, müssen außen passende Schichten und Randstücke ergänzt werden.
95 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}4{{/formula}} kann in Schichten zerlegt werden.
96 * Eine {{formula}}4\times4\times1{{/formula}}-Schicht ist noch keine vollständige {{formula}}5\times5\times1{{/formula}}-Schicht.
97 * Es fehlen jeweils
98
99 {{formula}}
100 5^2-4^2=25-16=9
101 {{/formula}}
102
103 kleine Einheitswürfel in einer L-Form.
104 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}3{{/formula}} enthält
105
106 {{formula}}
107 3^3=27=3\cdot9
108 {{/formula}}
109
110 Einheitswürfel und kann genau solche Ergänzungen liefern.
111
112 So wird die Zahl {{formula}}6{{/formula}} nicht erst aus {{formula}}216{{/formula}} erkannt, sondern als Kantenlänge des größeren Würfels sichtbar.
113
114 Daher gilt wieder:
115
116 {{formula}}
117 30^3+40^3+50^3=10^3(3^3+4^3+5^3)=10^3\cdot6^3=60^3.
118 {{/formula}}
119
120 Also ist
121
122 {{formula}}
123 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}=60.
124 {{/formula}}
125 )))
126 1. (((**Reflexion der drei Lösungswege.**
127
128 * Beim geschickten Rechnen wird die Aufgabe stark vereinfacht, weil zunächst der Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert wird. Der Weg bleibt aber teilweise rechnend, da man {{formula}}3^3+4^3+5^3{{/formula}} auswertet und {{formula}}216=6^3{{/formula}} erkennen muss.
129
130 * Beim algebraischen Strukturieren wird nicht direkt mit den drei Kuben gerechnet. Die Identität für Kubiksummen und die dritte binomische Formel zeigen, warum eine dritte Potenz entsteht. Besonders wichtig ist die Umformung
131
132 {{formula}}
133 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^3.
134 {{/formula}}
135
136 * Beim geometrischen Veranschaulichen steht nicht das Rechnen, sondern das Sehen der Struktur im Vordergrund: Drei Würfel werden als Teile eines größeren Würfels verstanden. Dieser Weg erklärt besonders anschaulich, woher die Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} kommt.
137
138 Alle drei Wege führen zum gleichen Ergebnis:
139
140 {{formula}}
141 \boxed{60}
142 {{/formula}}
143 )))