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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/08 00:39
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1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. Drei Lösungswege: ein arithmetischer, ein algebraischer, ein geometrischer.
3 (((**Geschicktes Rechnen.** Zunächst wird der gemeinsame Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert:
4
5 {{formula}}
6 30^3+40^3+50^3
7 =(10\cdot 3)^3+(10\cdot 4)^3+(10\cdot 5)^3
8 =10^3\cdot(3^3+4^3+5^3).
9 {{/formula}}
10
11 Nun gilt:
12
13 {{formula}}
14 3^3+4^3+5^3=27+64+125=216=6^3.
15 {{/formula}}
16
17 Damit folgt:
18
19 {{formula}}
20 {30^3+40^3+50^3}
21 ={10^3\cdot 6^3}
22 =60^3.
23 {{/formula}}
24 )))
25 (((**Algebraisches Strukturieren.** Man nutzt für {{formula}}3^3+4^3+5^3=6^3{{/formula}} die Identität
26
27 {{formula}}
28 1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2.
29 {{/formula}}
30
31 Für {{formula}}n=5{{/formula}} erhält man:
32
33 {{formula}}
34 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2.
35 {{/formula}}
36
37 Außerdem ist
38
39 {{formula}}
40 1^3+2^3=1+8=9=3^2.
41 {{/formula}}
42
43 Also gilt:
44
45 {{formula}}
46 3^3+4^3+5^3=15^2-3^2.
47 {{/formula}}
48
49 Mit der dritten binomischen Formel folgt:
50
51 {{formula}}
52 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18.
53 {{/formula}}
54
55 Nun wird das Produkt so faktorisiert, dass die dritte Potenz sichtbar wird:
56
57 {{formula}}
58 12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^2\cdot6=6^3.
59 {{/formula}}
60
61 Damit ist gezeigt:
62
63 {{formula}}
64 3^3+4^3+5^3=6^3.
65 {{/formula}}
66
67 Also:
68
69 {{formula}}
70 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
71 =\sqrt[3]{10^3\cdot6^3}
72 =60.
73 {{/formula}}
74 )))
75 (((**Geometrisches Veranschaulichen.** Die Terme {{formula}}3^3{{/formula}}, {{formula}}4^3{{/formula}} und {{formula}}5^3{{/formula}} können als Volumina von Würfeln mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} gedeutet werden.
76
77 Die entscheidende Idee ist:
78
79 {{formula}}
80 3^3+4^3+5^3=6^3.
81 {{/formula}}
82
83 Anschaulich bedeutet das: Die drei Würfel mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} sind zusammen volumengleich zu einem Würfel mit Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}}.
84
85 Eine mögliche Vorstellung:
86
87 * Man beginnt mit dem größten Würfel der Kantenlänge {{formula}}5{{/formula}}.
88 * Um daraus einen Würfel der Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} zu machen, müssen außen passende Schichten und Randstücke ergänzt werden.
89 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}4{{/formula}} kann in Schichten zerlegt werden.
90 * Eine {{formula}}4\times4\times1{{/formula}}-Schicht ist noch keine vollständige {{formula}}5\times5\times1{{/formula}}-Schicht.
91 * Es fehlen jeweils
92
93 {{formula}}
94 5^2-4^2=25-16=9
95 {{/formula}}
96
97 kleine Einheitswürfel in einer L-Form.
98 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}3{{/formula}} enthält
99
100 {{formula}}
101 3^3=27=3\cdot9
102 {{/formula}}
103
104 Einheitswürfel und kann genau solche Ergänzungen liefern.
105
106 So wird die Zahl {{formula}}6{{/formula}} nicht erst aus {{formula}}216{{/formula}} erkannt, sondern als Kantenlänge des größeren Würfels sichtbar.
107
108 Daher gilt wieder:
109
110 {{formula}}
111 30^3+40^3+50^3=10^3(3^3+4^3+5^3)=10^3\cdot6^3=60^3.
112 {{/formula}}
113
114 Also ist
115
116 {{formula}}
117 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}=60.
118 {{/formula}}
119 )))
120 1. (((**Reflexion der drei Lösungswege.**
121
122 * Beim geschickten Rechnen wird die Aufgabe stark vereinfacht, weil zunächst der Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert wird. Der Weg bleibt aber teilweise rechnend, da man {{formula}}3^3+4^3+5^3{{/formula}} auswertet und {{formula}}216=6^3{{/formula}} erkennen muss.
123
124 * Beim algebraischen Strukturieren wird nicht direkt mit den drei Kuben gerechnet. Die Identität für Kubiksummen und die dritte binomische Formel zeigen, warum eine dritte Potenz entsteht. Besonders wichtig ist die Umformung
125
126 {{formula}}
127 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^3.
128 {{/formula}}
129
130 * Beim geometrischen Veranschaulichen steht nicht das Rechnen, sondern das Sehen der Struktur im Vordergrund: Drei Würfel werden als Teile eines größeren Würfels verstanden. Dieser Weg erklärt besonders anschaulich, woher die Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} kommt.
131
132 Alle drei Wege führen zum gleichen Ergebnis:
133
134 {{formula}}
135 \boxed{60}
136 {{/formula}}
137 )))