Lösung Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und einschätzen

Ordnung:

Begründung:

• Teil 1:

  • Die Exponenten bestimmen zunächst die Größenordnung: \(10^{-5} < 10^{-3} < 10^2 < 10^5\)
  • Da alle Vorfaktoren \(a\) im Intervall \(1 \le a < 10\) liegen, ist der Einfluss der Exponenten entscheidend.

• Teil 2:

  • Die Aussage „\(9 \cdot 10^{-5}\) ist größer als \(7 \cdot 10^{-3}\), weil 9 größer als 7 ist.“ ist falsch.
  • Zwar gilt \(9>7\), aber \(10^{-5}\) ist deutlich kleiner als \(10^{-3}\); daher: \(9 \cdot 10^{-5} < 7 \cdot 10^{-3}\)
  • Der Denkfehler besteht darin, nur die Vorfaktoren zu vergleichen und die Größenordnung durch die Exponenten zu ignorieren.

Strategie: Bei Maßzahlen der Form \(\pm a \cdot 10^n\) mit \(1 \le a < 10\) geht man wie folgt vor:

• Zuerst das Vorzeichen vergleichen (positive Zahlen sind größer als negative).
• Bei gleichen Vorzeichen entscheidet der Exponent \(n\) über die Größenordnung:
    größerer Exponent ⇒ größere Zahl.
• Sind die Exponenten gleich, vergleicht man die Vorfaktoren \(a\).

Diese Vorgehensweise erlaubt einen schnellen Vergleich ohne vollständiges Ausrechnen.