BPE 12.3 Potenzfunktion

1  Definitions- und Wertemenge aus Gleichung und Graph  (10 min) 𝕃

2  Erkunden - Gerader Exponent  (12 min) 𝕃

Gegeben sind zwei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^2\) und \(h(x)=x^{-2}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils den Graphen der Funktion ggf. mit Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x-Achse von \([-3; +3]\) geht.
3. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.

3  Erkunden - Ungerader Exponent  (12 min) 𝕃

Gegeben sind drei Funktionsgleichungen \(f(x)=x^3\) und \(h(x)=x^{-3}\).

1. Gib jeweils den maximalen Definitionsbereich mit zugehörigem Wertebereich an.
2. Skizziere jeweils die Graphen der Funktionen ggf. mit ihren Asymptoten; benutze dafür ein gemeinsames Koordinatensystem, dessen x- und y-Achse jeweils von \([-8; +8]\) geht.
3. Beschreibe die Symmetrien, die bei den Graphen bzw. zwischen den Graphen erkennbar sind.

4  Venn - Eigenschaften  (8 min) 𝕃

Gib für jedes Feld A .. D eine passende Funktion \(f(x)=x^n\) an. Sollte ein Feld nicht gefüllt werden können, begründe bitte, warum es nicht geht.

5  Entscheiden – Potenzfunktionen  (8 min) 𝕃

Gegeben ist das Schaubild einer Potenzfunktion mit folgenden Eigenschaften:

- Das Schaubild ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
- Die Funktion ist für \(x=0\) nicht definiert.
- Alle Funktionswerte sind positiv.

Entscheide begründet, ob die nachfolgenden Funktionsterme zu dem beschriebenen Schaubild passen können.

1. \(f(x)=x^2\)
2. \(f(x)=x^4\)
3. \(f(x)=x^{-1}\)
4. \(f(x)=x^{-2}\)

6  Kritisch Stellung nehmen  (4 min)

Ein Schüler behauptet:
  „Je größer der Exponent einer Potenzfunktion ist, desto steiler ist der Graph überall.“
 
Nimm kritisch Stellung zu dieser Aussage.
Tipp: Du kannst bspw. auch mithilfe eines konkreten Beispiels einer Potenzfunktion Stellung nehmen.

7  Anwendung - Prozesse zuordnen  (8 min) 𝕃

Ordne jedem Prozess (I bis IV) aus der linken Spalte jeweils den zugehörigen Graphen oder den zugehörigen Funktionsterm aus der rechten Spalte zu.
Begründe jede deiner Zuordnung mathematisch. Gehe dabei insbesondere auf folgende Punkte ein:

• Wie wächst/fällt der Graph, wenn x größer wird? 
• Wie verhält sich der Graph bei kleinen x-Werten, besonders in der Nähe von x = 0? 
• Ist der Graph symmetrisch?
• Welche Werte für x sind für die Aufgabe nur sinnvoll?

Prozess	Zuordnung:  Graph / Funktionsterm
Prozess I – Gaming-Display Die Fläche eines quadratischen Displays hängt von der Seitenlänge ab.	Schaubild A
Prozess II – Energydrink-Effekt Wenn du nur einen kleinen Schluck Energydrink trinkst, merkst du fast nichts. Trinkst du aber mehrere Dosen hintereinander, steigt deine Energie und Aufregung extrem stark – viel stärker als bei nur einem Schluck.	\(f(x) = x^2\)
Prozess III – WLAN-Signal Mit wachsendem Abstand zum Router wird das Signal schwächer, verschwindet aber nie ganz.	Schaubild B
Prozess IV – Helligkeit Je näher man an eine kleine Lichtquelle herangeht, desto heller erscheint das Licht. Ganz in der Nähe der Lampe wird es sehr stark – fast überwältigend hell.	\(k(x) = x^{-1}\)

8  Einfluss des Exponenten auf das Annäherungsverhalten an die Achsen  (10 min) 𝕃

Zwei Potenzfunktionen \(f(x)=x^k\) und \(g(x)=x^m\) mit ganzzahligen Exponenten haben Schaubilder, die sich der x-Achse annähern.

1. Entwickle ein Kriterium, mit dem man entscheiden kann, welcher der beiden Graphen für große \(|x|\) schneller gegen die x-Achse fällt. Erkläre deine Überlegung.
2. Überprüfe, ob dieses Kriterium auch dafür geeignet ist zu entscheiden, welcher der beiden Graphen sich für \(x\to 0\) schneller der y-Achse annähert. Begründe deine Entscheidung.