Lösung Entscheiden – Potenzfunktionen

Aus den Eigenschaften folgt:

- Achsensymmetrie zur y-Achse bedeutet: \(f(-x)=f(x)\) (gerade Funktion).
- „Für \(x=0\) nicht definiert“ bedeutet: \(0 \notin D\).
- „Alle Funktionswerte positiv“ bedeutet: \(f(x)>0\) für alle \(x\in D\).

1. \(f(x)=x^2\)
   
     \(D=\mathbb{R}\), also ist \(x=0\) erlaubt. Das widerspricht der Angabe „für \(x=0\) nicht definiert“, also passt der Term nicht.

1. \(f(x)=x^4\)
   
     \(D=\mathbb{R}\), also ist \(x=0\) erlaubt. Das widerspricht der Angabe „für \(x=0\) nicht definiert“, also passt der Term nicht.

1. \(f(x)=x^{-1}=\frac{1}{x}\)
   
      Zwar gilt \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), aber \(f(-x)=\frac{1}{-x}=-\frac{1}{x}=-f(x)\). Damit ist der Graph nicht achsensymmetrisch zur y-Achse. Außerdem ist \(f(x)\) für \(x<0\) negativ, also sind nicht alle Funktionswerte positiv. Der Term passt nicht.

1. \(f(x)=x^{-2}=\frac{1}{x^2}\)
   
     \(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\), also ist \(x=0\) ausgeschlossen. Außerdem gilt \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\), also achsensymmetrisch zur y-Achse. Und \(f(x)=\frac{1}{x^2}>0\) für alle \(x\neq 0\), also sind alle Funktionswerte positiv. Der Term passt.