Lösung Pyramide in Würfel

1  Pyramide in Würfel  (15 min)

1. folgt
     
2. \(V_{Würfel}\) = a³ = (10 cm)³ = 1.000 cm³ = 1dm³ = 1 Liter
   \(V_{Pyramide}\) = 1/3 ∙ G ∙ h = 1/3 ∙ b² ∙ 10 cm = …
    
     Pythagoras:  b² = (a/2)² + (a/2)² = 2 ∙ (a/2)² = 2 ∙ a²/4 = a²/2 = (10 cm)²/2 = 50 cm²
    
     … = 1/3 ∙ 50 cm² ∙ 10 cm = 500/3 cm³ ≈ 166,67 cm³
    
   \(V_{Würfel}\) : \(V_{Pyramide}\) = 1.000 cm³ : 166,66… cm³ = 6 : 1
     
3. \(O_{Würfel}\) = 6a² = 6 ∙ (10 cm)² = 600 cm²
   \(O_{Pyramide}\) = G + 4 ∙ b ∙ \(h_b\) = 50 cm² + 4 ∙ √50 cm ∙ \(h_b\) = …
    
     Pythagoras:  \(h_b²\) = (b/2)² + h² = (√50 cm / 2)² + (10 cm)² = 112,5 cm² | √
      \(h_b\) = √(112,5 cm²) ≈ 10,61 cm
    
     … = 50 cm² + 4 ∙ √50 cm ∙ √(112,5 cm²) = 50 cm² + 4 ∙ 75 cm² = 350 cm²
    
   \(O_{Pyramide}\) / \(O_{Würfel}\) = 350 cm² / 600 cm² = 7/12,
     d.h. die O der Pyramide ist um 5/12 = 0,4166… ≈ 41,67 % kleiner als die des Würfels.
     
4. \(V_{Pyramide}\) = 1/3 ∙ b² ∙ h = 1/3 ∙ 50 cm² ∙ h = 1.000 cm³ ,
     d.h. h = (1.000 cm³) / (1/3 ∙ 50 cm²) = 1.000 cm³ ∙ (3 / (50 cm²)) = 3.000 / 50 cm = 60 cm
     
5. \(V_{Würfel}\) = a³ = 167,67 cm³, d.h. a = ∛167,67 cm ≈ 5,51 cm