BPE 14.4 Logarithmus- und Exponentialgleichungen

1  Einfache Exponentialgleichungen  (3 min) 𝕃

Bestimme die Lösungen der folgenden Exponentialgleichungen ohne Verwendung eines Taschenrechners.

a) \(2^x=2^3\)

b) \(5^x=125\)

c) \(7^x=1\)

d) \(4^x=\frac{1}{4}\)

e) \(3^{x}=\frac{1}{27}\)

2  Umschreiben als Gleichung  (5 min) 𝕃

Bestimme die passenden Exponentialgleichungen zu jedem Ausdruck und berechne ohne Verwendung des Taschenrechners.

a) \(x=log(1000000)\)

b) \(x=log_3(81)\)

c) \(x=log_2(0{,}125)\)

d) \(x=log_2(\frac{1}{128})\)

e) \(x=log_9(-9)\)

3  Exponentialgleichungen lösen  (10 min) 𝕃

Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:

ohne WTR:
   
a) \( 4\cdot 5^x+20=120 \)
b) \( 2\cdot(2^x+4)=8 \)
c) \( -2\cdot 3^x=-6\)
 
mit WTR (Ergebnisse auf zwei Nachkommastellen runden):
   
d) \( 1+2^x=7 \)
e) \( 3\cdot(5-3^x) =-21 \)

4  Zeichnerische Lösung 1  (5 min) 𝕃

Die Lösung von Exponentialgleichungen kann auch zeichnerisch bestimmt werden.

Hier ist die Lösung der Gleichung \(2^x=3\) mit Hilfe des Schaubilds der Funktion \(f\) mit \(f(x)=2^x\) dargestellt.
Beschreibe den dargestellten Lösungsweg.

5  Zeichnerische Lösung 2  (10 min) 𝕃

Hier sind die Schaubilder der Funktionen \(f\) mit \(f(x)=2^x\) und \(g\) mit \(g(x)=1{,}5^x\) dargestellt.
Bestimme mit Hilfe der Schaubilder zeichnerisch die Lösungen der drei Exponentialgleichungen:
\(2^x=4{,}6\)
\(1{,}5^x=3{,}4\)
\(2^x=0{,}6\)

6  Zeichnerische Lösung 3  (5 min) 𝕃

Begründe mit Hilfe des folgenden Schaubilds, dass die Gleichung:
\(2^x=-1\)
keine Lösung hat.

7  Logarithmen und Exponentialgleichungen  (10 min) 𝕃

Löse die Gleichung mit einem geeigneten Verfahren.

1. \(49^{x} = 343\)
2. \(4^{0,6x+1,5} + 38 = 550\)
3. \(\log_{x}(7776) = 5\)

8  Kaninchenpopulation  (10 min) 𝕃

Die Anzahl von Kaninchen auf einer unbewohnten Insel wächst exponentiell. Jährlich nimmt sie um 17,5 % zu.
Zu Beginn sind es 1850 Kaninchen.
a) Modellieren Sie den Kaninchenbestand durch eine Exponentialfunktion.
b) Berechne die Anzahl der Kaninchen nach 20 Jahren (eine Dezimale), sofern keines der Tiere zuvor verstirbt?
c) Nach welcher Zeit hat sich der Bestand verachtfacht (eine Dezimale)?