Lösung Wachstumsvorgang - Zinseszins
Version 11.1 von Reinhard Ansorge am 2026/02/03 14:42
a) Vergleich der Sparmodelle
Berechnung des Betrags bei Maria \(M\):
\[M(16) = 1,00 \cdot 2^{16} \approx 65.536{,}00\]
Vergleich:
\(65.536{,}00 > 4.000{,}00\)
Feststellung:
Der Betrag ist reichlich mehr als genug für den Führerschein.
Berechnung des Betrags bei Tom \(T\):
\[T(16) = 1 \cdot 1{,}5^{16} \approx 656{,}84\]
Vergleich:
\(656{,}84 < 4.000{,}00\)
Feststellung:
Der Betrag reicht bei Weitem nicht für den Führerschein.
b) Erforderlicher Wachstumsfaktor
Gegeben ist:
\[B(16) = 1 \cdot a^{16} = 4.000{,}00\]
Umstellen nach \(a\):
\[a^{16} = 4.000\]
\[a = \sqrt[16]{4.000} \approx 1{,}68\]
Ergebnis:
Der Betrag von \(1\) zur Geburt müsste an jedem Geburtstag um etwa \(68\) % wachsen.
c) Anfangsbetrag bei Tom
Gegeben ist:
\[T(16) = T(0) \cdot 1{,}5^{16} = 4.000{,}00\]
Umstellen nach \(T(0)\):
\[T(0) = \frac{4.000{,}00}{1{,}5^{16}} \approx 6{,}09\]
Ergebnis:
Der Anfangsbetrag müsste etwa \(6{,}09\) betragen.
d) Zeitpunkt des Erreichens von 4.000 €
Gegeben ist:
\[M(t) = 1 \cdot 2^{t} = 4.000{,}00\]
Umstellen nach \(t\):
\[2^{t} = 4.000\]
\[t = \log_{2}(4.000) \approx 11{,}97\]
Ergebnis:
Der Betrag von \(4.000{,}00\) wird kurz vor dem \(12\). Geburtstag erreicht.