BPE 15.2 Sinusfunktion

1  Sinusfunktion am Einheitskreis  (3 min) 𝕃

Ordne den Punkten A, C, D, F auf dem Einheitskreis die entsprechenden Punkte auf der Sinusfunktion zu.
Ordne den Punkten B, E auf der Sinusfunktion die entsprechenden Punkte auf dem Einheitskreis zu.
 

2  Uhrzeit und Winkel  (8 min) 𝕃

Auf einem Einheitskreis gilt:

Eine Uhr macht in 12 Stunden ebenfalls eine vollständige Umdrehung.

Ein Schüler behauptet:
„Dann entspricht 6 Uhr einem Winkel von \(90^\circ\).“

1. Beurteile die Aussage des Schülers.
2. Ordne den Uhrzeiten 3 Uhr, 6 Uhr, 9 Uhr und 12 Uhr passende Winkel zu.
3. Beschreibe, wie man allgemein von einer Uhrzeit auf einen Winkel schließen kann.
4. Bestimme die Winkel zu 2 Uhr und 10 Uhr.

3  Ebbe und Flut  (20 min) 𝕃

Das Wasser im Hamburger Hafen steigt und fällt aufgrund von Ebbe und Flut periodisch. An einem bestimmten Tag wird der Wasserstand (in Metern) über einen Zeitraum von 12 Stunden gemessen. Der höchste Wasserstand (Flut) beträgt 6,00 m ü. NN und wird um 3 Uhr morgens gemessen. Der niedrigste Wasserstand (Ebbe) beträgt 4,00 m ü. NN und tritt um 9 Uhr auf.

1. Stelle die Sinusfunktion in einem Schaubild dar. Trage dazu auf der x-Achse den Winkel \(0°\le\alpha\le360°\) und die dazu entsprechenden Uhrzeiten von 0 bis 12 Uhr auf.
2. Lies im Schaubild ab, in welchem Zeitraum der Wasserstand mehr als 0,5 m über dem Durchschnittswert liegt.
3. Stelle die Funktionsgleichung \(f(\alpha)=sin(\alpha)+b\) für den Verlauf des Wasserstands im Hafenbecken auf.
4. Berechne den Wasserstand um 2 Uhr und um 10 Uhr.

4  Tretbewegung Fahrrad  (10 min) 𝕃

Beim Fahrradfahren bewegt sich das Pedal auf einer Kreisbahn um das Tretlager. Das Tretlager befindet sich 26,5 cm über dem Boden. Die Kurbel ist 15 cm lang. Eine Umdrehung dauert eine Sekunde. Die Bewegung des Pedals kann durch eine Sinuskurve modelliert werden.

1. Zeichne die Pedalbewegung in ein geeignetes Koordinatensystem ein. Die y-Achse beschreibt die Höhe des Pedals über dem Boden. Die Pedalbewegung beginnt auf Tretlagerhöhe.
2. Beschreibe die Pedalbewegung mit einer geeigneten Funktion.

5  Interpretation eines periodischen Vorgangs  (10 min) 𝕃

Ein Schüler modelliert die Tageslänge (in Stunden) über ein Jahr durch folgende Funktion: \(f(\alpha)=4sin(\alpha)+12\)

1. Interpretiere die Bedeutung aller Parameter im Sachzusammenhang.
2. Überprüfe kritisch, ob das Modell realistisch ist.