Lösung Geradengleichungen

1. Einsetzen von \(x=1\) in die Geradengleichung ergibt: \(y=-2\cdot 1+4=-2+4=2\) ✓. Somit liegt der Punkt \(A(1|2)\) auf der Geraden g₁.

2. Als Ansatz betrachten wir die Hauptform einer Geradengleichung \(y=mx+b\).

   Für die Steigung \(m\) ergibt sich
   \(m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{3-2}{4-1}=\frac{1}{3}\).

   Den y-Achsenabschnitt \(b\) können wir bestimmen indem wir einen der beiden Punkte (z.B. \(A(1|2)\) ) in die Geradengleichung \(y=mx+b=\frac{1}{3}x+b \) einsetzen und nach \(b\) umstellen:

   \[\begin{align} 2&=\frac{1}{3}\cdot 1+b \\ 2&=\frac{1}{3}+b \quad \bigg|-\frac{1}{3} \\ b&=2-\frac{1}{3}=\frac{5}{3} \end{align}\]

   Die Geradengleichung lautet somit:
   \(g_2: y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}\)

3. Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen und Umstellen nach \(x\) ergibt:

Den y-Wert des Schnittpunktes erhalten wir, indem wir \(x=1\) in eine der beiden Geradengleichungen (z.B. g₁) einsetzen:
\(y=-2\cdot 1+4=2\).

Somit erhalten wir als Schnittpunkt den Punkt \(A(1|2)\), was zu erwarten war, da wir bereits in a) gezeigt haben, dass Punkt \(A(1|2)\) auf g₁ liegt und g₂ so konstruiert haben, dass die Gerade auch durch den Punkt geht.