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Wiki-Quellcode von Lösung Orthogonale Geraden

Zuletzt geändert von akukin am 2025/07/02 12:11
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1 (%class=abc%)
2 1. [[image:Geradeg1.png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
3 1. (((Für die Steigungen zweier orthogonaler Geraden gilt {{formula}}m_1\cdot m_2=-1{{/formula}}
4
5 Wir stellen die Gleichung nach {{formula}}m_2{{/formula}} um und berechnen die Steiung von {{formula}}g_2{{/formula}} durch
6 {{formula}}m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}{{/formula}}.
7
8 Die Geradengleichung lautet also {{formula}}g_2: y=-\frac{4}{3}x+b{{/formula}}
9
10 Um nun den y-Achsenabschnitt {{formula}}b{{/formula}} von {{formula}}g_2{{/formula}} zu berechnen, setzen wir den Punkt {{formula}}A(7|1){{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}b{{/formula}}:
11
12 {{formula}}
13 \begin{align}
14 1 &=-\frac{4}{3}\cdot 7+b \\
15 1 &=-\frac{28}{3}+b &&\Bigl| +\frac{28}{3} \\
16 b&= 1+\frac{28}{3}=\frac{31}{3}
17 \end{align}
18 {{/formula}}
19
20 Insgesamt lautet die Geradengleichung damit {{formula}}g_2: y=-\frac{4}{3}x+\frac{31}{3}{{/formula}}
21 [[image:Geradeng1undg2.png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
22 )))
23 1. (((Zur Berechnung des Schnittpunktes setzen wir die zwei Geradengleichungen gleihc und lösen nach {{formula}}x{{/formula}} auf:
24
25 {{formula}}
26 \begin{align}
27 \frac{3}{4}x + 2 &= -\frac{4}{3}x + \frac{31}{3} & & \Bigl| + \frac{4}{3}x - 2 \\
28 \frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x &= \frac{31}{3} - 2 \\
29 \frac{25}{12}x &= \frac{25}{3} & & \Bigl| : \frac{25}{12} \\
30 x &= \frac{12}{3} =4
31 \end{align}
32 {{/formula}}
33
34 Um den zugehörigen y-Wert rauszubekommen, setzen wir {{formula}}x=4{{/formula}} in eine der beiden Geradengleihcungen, z.B. {{formula}}g_1{{/formula}}, ein: {{formula}}y=\frac{3}{4} \cdot 4+2=5{{/formula}}.
35
36 Der Schnittpunkt ist somit {{formula}}S(4|5){{/formula}}.)))
37 1. Der Abstand berechnet sich mit Pythagoras durch {{formula}}d=\sqrt{(x_S-x_A)^2+(y_S-y_A)^2}{{/formula}}:
38 {{formula}}d=\sqrt{(4-7)^2+(5-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5{{/formula}}
39 1. Der Abstand zwischen {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} ist der kürzeste Abstand zwischen {{formula}}A{{/formula}} und der Geraden {{formula}}g_1{{/formula}}.