Lösung Orthogonale Geraden

Zuletzt geändert von akukin am 2025/07/02 12:11

Für die Steigungen zweier orthogonaler Geraden gilt $m_1\cdot m_2=-1$
Wir stellen die Gleichung nach um und berechnen die Steiung von durch
$m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}$ .
Die Geradengleichung lautet also $g_2: y=-\frac{4}{3}x+b$
Um nun den y-Achsenabschnitt von zu berechnen, setzen wir den Punkt ein und stellen um nach :
$\begin{align} 1 &=-\frac{4}{3}\cdot 7+b \\ 1 &=-\frac{28}{3}+b &&\Bigl| +\frac{28}{3} \\ b&= 1+\frac{28}{3}=\frac{31}{3} \end{align}$
Insgesamt lautet die Geradengleichung damit $g_2: y=-\frac{4}{3}x+\frac{31}{3}$
Zur Berechnung des Schnittpunktes setzen wir die zwei Geradengleichungen gleihc und lösen nach auf:
$\begin{align} \frac{3}{4}x + 2 &= -\frac{4}{3}x + \frac{31}{3} & & \Bigl| + \frac{4}{3}x - 2 \\ \frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x &= \frac{31}{3} - 2 \\ \frac{25}{12}x &= \frac{25}{3} & & \Bigl| : \frac{25}{12} \\ x &= \frac{12}{3} =4 \end{align}$
Um den zugehörigen y-Wert rauszubekommen, setzen wir in eine der beiden Geradengleihcungen, z.B. , ein: $y=\frac{3}{4} \cdot 4+2=5$ .
Der Schnittpunkt ist somit .
Der Abstand berechnet sich mit Pythagoras durch $d=\sqrt{(x_S-x_A)^2+(y_S-y_A)^2}$ :
$d=\sqrt{(4-7)^2+(5-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5$
Der Abstand zwischen und ist der kürzeste Abstand zwischen und der Geraden .