Lösung Orthogonale Geraden
Für die Steigungen zweier orthogonaler Geraden gilt \(m_1\cdot m_2=-1\)
Wir stellen die Gleichung nach \(m_2\) um und berechnen die Steiung von \(g_2\) durch
\(m_2=-\frac{1}{m_1}=-\frac{1}{\frac{3}{4}}=-\frac{4}{3}\).Die Geradengleichung lautet also \(g_2: y=-\frac{4}{3}x+b\)
Um nun den y-Achsenabschnitt \(b\) von \(g_2\) zu berechnen, setzen wir den Punkt \(A(7|1)\) ein und stellen um nach \(b\):
\[\begin{align*} 1 &=-\frac{4}{3}\cdot 7+b \\ 1 &=-\frac{28}{3}+b &&\Bigl| +\frac{28}{3} \\ b&= 1+\frac{28}{3}=\frac{31}{3} \end{align*}\]Insgesamt lautet die Geradengleichung damit \(g_2: y=-\frac{4}{3}x+\frac{31}{3}\)
Zur Berechnung des Schnittpunktes setzen wir die zwei Geradengleichungen gleich und lösen nach \(x\) auf:
\[\begin{align*} \frac{3}{4}x + 2 &= -\frac{4}{3}x + \frac{31}{3} & & \Bigl| + \frac{4}{3}x - 2 \\ \frac{3}{4}x + \frac{4}{3}x &= \frac{31}{3} - 2 \\ \frac{25}{12}x &= \frac{25}{3} & & \Bigl| : \frac{25}{12} \\ x &= \frac{12}{3} =4 \end{align*}\]Um den zugehörigen y-Wert rauszubekommen, setzen wir \(x=4\) in eine der beiden Geradengleihcungen, z.B. \(g_1\), ein: \(y=\frac{3}{4} \cdot 4+2=5\).
Der Schnittpunkt ist somit \(S(4|5)\).
- Der Abstand berechnet sich mit Pythagoras durch \(d=\sqrt{(x_S-x_A)^2+(y_S-y_A)^2}\):
\(d=\sqrt{(4-7)^2+(5-1)^2}=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2}=\sqrt{25}=5\) - Der Abstand zwischen \(A\) und \(S\) ist der kürzeste Abstand zwischen \(A\) und der Geraden \(g_1\).