BPE 5.1 Ortslinien und Geometrie im Dreieck

1  Grundkonstruktion Mittelsenkrechte  (15 min) 𝕋  𝕃

Im Koordinatensystem sind die Punkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\) gegeben.

1. Zeichne \(A, B\)  und \(C\) in ein Koordinatensystem ein und konstruiere zur Strecke \(AB\) und zur Strecke \(AC\) jeweils die Mittelsenkrechte.
2. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt \(S\). Messe jeweils die Entfernung von \(S\) zu \(A, B\)  und \(C\). Erläutere Deine Messung.
3. Ermittle grafisch durch Konstruktion, ob die Mittelsenkrechte der Strecke \(BC\) ebenfalls durch den Punkt  \(S\) verläuft.
4. Beschreibe, welche Bedeutung der Punkt \(S\) für das Dreieck \(ABC\) hat.

2  Haltestellen  (10 min) 𝕃

Leo, Karmen und Moritz wohnen im gleichen Ort. Stellt man ihre Wohnhäuser in einem Koordinatensystem dar, dann wohnt Leo in  \(L(-1|-7)\), Karmen in \(K(4|6)\) und Moritz in \(M(8|8)\). Alle drei fahren mit dem Bus zur Schule. Die Bushaltestellen befinden sich in den Punkten \(A(-2|1)\) und \(B(6|-3)\).

1. Untersuche, für welches Kind die Entfernung von der Wohnung zu den beiden Haltestellen gleich groß ist.
2. Ermittle weitere Punkte, die von den beiden Haltestellen jeweils gleich weit entfernt sind, und nenne die Ortslinie, auf der all diese Punkte liegen.

3  Konstruktionsaufgabe  (15 min) 𝕃

Zeichne den Punkt \(A(2|4)\) sowie die Gerade \(g\) durch die Punkte \(P(0,-2)\) und \(Q(-4,0)\) in ein Koordinatensystem ein.

1. Konstruiere die Gerade, die senkrecht zu \(g\) steht und durch \(A\) verläuft.
2. Konstruiere die Parallele \(p\) zu \(g\), die durch \(A\) verläuft.
3. Konstruiere zu \(g\) und \(p\) die Mittelparallele \(m\).

4  Seitenhalbierende im Dreieck  (10 min) 𝕃

Die Seitenhalbierenden in einem Dreieck verbinden jeweils eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Ein Dreieck im Koordinatensystem hat die Eckpunkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\).

1. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch \(A\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(BC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis in einem Schaubild.
2. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch den Punkt \(B\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(AC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis im Schaubild.
3. Der Schnittpunkt der Geraden (Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Berechne die Koordinaten dieses Schwerpunkts.

5  Besondere Punkte  (3 min)

6  Brunnen  (k.A.)

Drei Dörfer A, B und C sollen durch einen gemeinsamen Brunnen versorgt werden, der von allen drei Dörfern gleich weit entfernt ist. Konstruieren den Standort des Brunnens.

7  Dreieck im Kreis  (k.A.)

A und B sind die Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden, die durch den Mittelpunkt des Kreises verläuft. C ist ein weiterer Punkt auf dem Kreis. Erläutere die Eigenschaften des Dreiecks.

8  Zirkel und Lineal  (k.A.)

Du willst prüfen, ob ein Winkel in einem Werkstück exakt 90 Grad hat, hast aber kein Geodreieck, sondern nur Zirkel und Lineal. Erläutere, wie du den Satz des Thales dafür nutzen kannst.

9  Umfangswinkel  (k.A.)

Zeichne eine beliebige Gerade durch einen Kreis, welche nicht durch den Kreismittelpunkt verläuft. Konstruiere je ein Dreieck von den beiden Schnittpunkten A und B der Geraden mit dem Kreis zu zwei Punkten C und D oberhalb der Geraden \(AB\) auf dem Kreis. Konstruiere ein drittes Dreieck von den Schnittpunkten A und B zu einem Punkt E unterhalb der Geraden \(AB\).

1. Vergleiche die Winkel \(\angle ACB\) und \(\angle ADB\) der beiden Dreiecke oberhalb der Geraden AB miteinander. Formuliere eine Vermutung und prüfe diese mit einem weiteren Punkt nach.
2. Berechne die Summen der Winkel \(\angle ACB\) und \(\angle AEB\), sowie der Winkel \(\angle ADB\) und \(\angle AEB\). Formuliere eine Vermutung über den Zusammenhang zwischen den Winkeln oberhalb und unterhalb der Geraden.