BPE 5.1 Ortslinien und Geometrie im Dreieck

1  Erarbeitungsaufgabe Ortslinien  (15 min)

1. Zeichne eine Strecke \(\overline{AB}\) mit \(\overline{AB}= 8 cm\).
2. Bestimme den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\).
3. Zeichne die Senkrechte zur Strecke \(\overline{AB}\) durch den Mittelpunkt \(M\).
4. Zeichne drei weitere beliebige Geraden durch den Mittelpunkt \(M\).
5. Zeichne einen Kreis mit dem Radius \(r=10cm\).
6. Die Geraden schneiden den Kreis jeweils in einem Schnittpunkt \(S_1\), \(S_2\), \(S_3\) und \(S_4\).
7. Messe jeweils die
     
8. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt \(S\). Messe jeweils die Entfernung von \(S\) zu \(A, B\)  und \(C\). Was stellst du fest?
9. Ermittle grafisch durch Konstruktion, ob die Mittelsenkrechte der Strecke \(\overline{BC}\) ebenfalls durch den Punkt  \(S\) verläuft. 
10. Beschreibe, welche Bedeutung Punkt \(S\) für das Dreieck \(ABC\) hat.

2  Grundkonstruktion Mittelsenkrechte  (15 min) 𝕋  𝕃

Im Koordinatensystem sind die Punkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\) gegeben.

1. Zeichne \(A, B\)  und \(C\) in ein Koordinatensystem ein und konstruiere zur Strecke \(\overline{AB}\) und zur Strecke \(\overline{AC}\) jeweils die Mittelsenkrechte.
2. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt \(S\). Messe jeweils die Entfernung von \(S\) zu \(A, B\)  und \(C\). Was stellst du fest?
3. Ermittle grafisch durch Konstruktion, ob die Mittelsenkrechte der Strecke \(\overline{BC}\) ebenfalls durch den Punkt  \(S\) verläuft. 
4. Beschreibe, welche Bedeutung Punkt \(S\) für das Dreieck \(ABC\) hat.

3  Haltestellen  (10 min) 𝕃

Leo, Karmen und Moritz wohnen im gleichen Ort. Stellt man ihre Wohnhäuser in einem Koordinatensystem dar, dann wohnt Leo in  \(L(-1|-7)\), Karmen in \(K(4|6)\) und Moritz in \(M(8|8)\).
 Alle drei fahren mit dem Bus zur Schule. Die Bushaltestellen befinden sich in den Punkten \(A(-2|1)\) und \(B(6|-3)\).

1. Untersuche, welches der Kinder von seinem Wohnort zu den beiden Haltestellen gleich weit hat.
2. Ermittle weitere Punkte, die von den beiden Haltestellen jeweils gleich weit entfernt sind und nenne die Ortslinie, auf der all diese Punkte liegen.

4  Konstruktionsaufgabe  (15 min) 𝕃

1. Zeichne die Gerade \(g:y=-0,5\cdot x - 2\) und den Punkt \(A(2|4)\) in ein Koordinatensystem ein.
2. Konstruiere die Gerade, die senkrecht zu \(g\) steht und durch \(A\) verläuft. Gib ihre Gleichung an. 
3. Konstruiere die Parallele \(p\) zu \(g\), die durch \(A\) verläuft.
4. Konstruiere zu \(g\) und \(p\) die Mittelparallele \(m\).

5  Seitenhalbierende im Dreieck  (10 min) 𝕃

Die Seitenhalbierende in einem Dreieck verbinden jeweils eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Ein Dreieck im Koordinatensystem hat die Eckpunkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\).

1. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch \(A\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(BC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis in einem Schaubild.
2. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch den Punkt \(B\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(AC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis im Schaubild.
3. Der Schnittpunkt der Geraden (Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Berechne diesen Schwerpunkt.

6  Umfang eines Dreiecks  (5 min) 𝕃

Berechne den Umfang des Dreiecks \(ABC\) mit \(A(-2|3), B(10|-2), C(1|7)\).