BPE 5.1 Ortslinien und Geometrie im Dreieck

1  Erarbeitungsaufgabe Ortslinien  (15 min)

1. Zeichnen und Bezeichnen

   i.  Zeichne eine Strecke AB der Länge 6 cm mit ihrem Mittelpunkt M (alles mit dem Geodreieck).

   ii. Zeichne durch M drei Geraden. Eine dieser Geraden soll senkrecht auf AB stehen;
       sie heißt die Mittelsenkrechte m zur Strecke AB bzw. zu den Punkten A und B.

   iii. Zeichne einen Kreis um A mit dem Radius 8 cm.

2. Abstände messen und vergleichen

   i.  Die drei Geraden aus a) schneiden den Kreis um A in mehreren Punkten.
       Markiere diese Schnittpunkte und benenne sie der Reihe nach mit S₁, S₂, S₃, … 

   ii. Miss mit dem Geodreieck für jeden Punkt Sᵢ die Abstände SᵢA und SᵢB.
       Trage die Messwerte in einer zeilenweisen Tabelle ein
       (z.B. Zeilen: Punkt – Abstand zu A – Abstand zu B – Vergleich).

   iii. Vergleiche die Abstände SᵢA und SᵢB für alle untersuchten Punkte.
        Notiere, bei welchen Punkten die Abstände (annähernd) gleich sind,
        und gib an, auf welcher der drei Geraden diese Punkte liegen.

3. Vermutungen und Fazit (empirisch)

   i.  Wähle drei weitere Punkte P₁, P₂, P₃ auf der Mittelsenkrechten m, auch außerhalb des Kreises.
       Miss mit dem Geodreieck jeweils die Abstände PᵢA und PᵢB und ergänze deine Tabelle.
       Vergleiche erneut die Abstände.

   ii. Formuliere mit eigenen Worten, was mit „geometrischer Ort“ gemeint ist.
       Verwende dabei die Begriffe „Menge aller Punkte“, „Bedingung“ und „Erfüllen“.

   iii. Ergänze die folgenden Sätze, indem du die passenden Begriffe einsetzt
        (zur Auswahl stehen: „denselben Abstand“, „je gleichen Abstand“, „konstant“, „nicht konstant“):

        • „Alle Punkte einer Kreislinie um den Punkt Z haben zu Z  Abstand;
           dieser Abstand bleibt für alle Punkte .“

        • „Alle Punkte der Mittelsenkrechten zur Strecke AB haben zu A und zu B jeweils  Abstand;
           dabei ist dieser Abstand über die gesamte Gerade .“

   iv. Die Ergebnisse aus b) und c) stammen aus Messungen; sie liefern daher empirische Vermutungen,
       aber noch keine Beweise.  
       Bearbeite die folgenden Reflexionsfragen:

       • Warum reicht eine einzelne Messung nicht aus, um eine geometrische Aussage sicher zu begründen?  
       • Welche Rolle spielt Genauigkeit beim Arbeiten mit dem Geodreieck? Welche Fehler können entstehen?  
       • Weshalb ist es sinnvoll, Punkte sowohl auf dem Kreis als auch außerhalb des Kreises (auf m) zu untersuchen?  
       • Was müsste man später mathematisch zeigen, um deine Vermutung zur Mittelsenkrechten vollständig zu beweisen?  
       • Wie unterscheiden sich „denselben Abstand“ und „je gleichen Abstand“ inhaltlich? Warum ist dieser Unterschied wichtig?  

2  Grundkonstruktion Mittelsenkrechte  (15 min) 𝕋  𝕃

Im Koordinatensystem sind die Punkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\) gegeben.

1. Zeichne \(A, B\)  und \(C\) in ein Koordinatensystem ein und konstruiere zur Strecke \(\overline{AB}\) und zur Strecke \(\overline{AC}\) jeweils die Mittelsenkrechte.
2. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt \(S\). Messe jeweils die Entfernung von \(S\) zu \(A, B\)  und \(C\). Was stellst du fest?
3. Ermittle grafisch durch Konstruktion, ob die Mittelsenkrechte der Strecke \(\overline{BC}\) ebenfalls durch den Punkt  \(S\) verläuft. 
4. Beschreibe, welche Bedeutung Punkt \(S\) für das Dreieck \(ABC\) hat.

3  Haltestellen  (10 min) 𝕃

Leo, Karmen und Moritz wohnen im gleichen Ort. Stellt man ihre Wohnhäuser in einem Koordinatensystem dar, dann wohnt Leo in  \(L(-1|-7)\), Karmen in \(K(4|6)\) und Moritz in \(M(8|8)\). Alle drei fahren mit dem Bus zur Schule. Die Bushaltestellen befinden sich in den Punkten \(A(-2|1)\) und \(B(6|-3)\).

1. Untersuche, welches der Kinder von seinem Wohnort zu den beiden Haltestellen gleich weit hat.
2. Ermittle weitere Punkte, die von den beiden Haltestellen jeweils gleich weit entfernt sind und nenne die Ortslinie, auf der all diese Punkte liegen.

4  Konstruktionsaufgabe  (15 min) 𝕃

1. Zeichne die Gerade \(g:y=-0,5\cdot x - 2\) und den Punkt \(A(2|4)\) in ein Koordinatensystem ein.
2. Konstruiere die Gerade, die senkrecht zu \(g\) steht und durch \(A\) verläuft. Gib ihre Gleichung an. 
3. Konstruiere die Parallele \(p\) zu \(g\), die durch \(A\) verläuft.
4. Konstruiere zu \(g\) und \(p\) die Mittelparallele \(m\).

5  Seitenhalbierende im Dreieck  (10 min) 𝕃

Die Seitenhalbierende in einem Dreieck verbinden jeweils eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Ein Dreieck im Koordinatensystem hat die Eckpunkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\).

1. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch \(A\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(BC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis in einem Schaubild.
2. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch den Punkt \(B\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(AC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis im Schaubild.
3. Der Schnittpunkt der Geraden (Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Berechne diesen Schwerpunkt.

6  Umfang eines Dreiecks  (5 min) 𝕃

Berechne den Umfang des Dreiecks \(ABC\) mit \(A(-2|3), B(10|-2), C(1|7)\).