BPE 5.1 Ortslinien und Geometrie im Dreieck

1  Erarbeitungsaufgabe Ortslinien  (30 min)

1. Zeichnen, Markieren und Benennen.
   i.   Zeichne eine Strecke AB der Länge 6 cm mit ihrem Mittelpunkt M.
   ii.  Zeichne drei Geraden durch M. Eine dieser Geraden soll senkrecht auf AB stehen
         und heißt die Mittelsenkrechte m der Strecke AB.
   iii. Zeichne einen Kreis um A mit dem Radius 8 cm.
   iv.  Markiere und benenne alle Schnittpunkte der drei Geraden mit dem Kreis der Reihe nach mit S₁, S₂, S₃, …
   v.   Markiere und benenne drei weitere Punkte P₁, P₂, P₃ auf der Mittelsenkrechten m.

2. Abstände messen und vergleichen.
   i.   Miss mit dem Geodreieck für jeden Punkt Sᵢ und Pᵢ die Abstände zu A und zu B und gib die Werte tabellarisch (Kopfzeile: Punkt – Abstand zu A – Abstand zu B) an.
   ii.  Vergleiche für alle Punkte Sᵢ die beiden Abstände miteinander. Gib an, auf welchen der drei Geraden diejenigen Punkte liegen, bei denen beide Abstände (annähernd) gleich sind.
   iii. Vergleiche für alle Punkte Pᵢ die beiden Abstände miteinander.

3. Geometrische Orte vergleichen: Kreis (gesichert) und Mittelsenkrechte (empirisch untersucht, später beweisbar).
   i.  Formuliere mit eigenen Worten, was mit „geometrischer Ort“ gemeint ist. Verwende dabei die Begriffe „Menge aller Punkte“, „Bedingung“ und „Erfüllen“.
   ii.

   Ergänze die folgenden Sätze, indem du die passenden Begriffe einsetzt
         (zur Auswahl stehen: „denselben Abstand“, „je gleichen Abstand“, „konstant“, „nicht konstant“):
         ii.1 Alle Punkte einer Kreislinie um den Punkt Z haben zu Z ...
              dieser Abstand bleibt für alle Punkte ...
         ii.2 Alle Punkte der Mittelsenkrechten zur Strecke AB haben (vermutlich) zu A und zu B ...
              dabei ist dieser Abstand (vermutlich) über die gesamte Gerade ...

2  Grundkonstruktion Mittelsenkrechte  (15 min) 𝕋  𝕃

Im Koordinatensystem sind die Punkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\) gegeben.

1. Zeichne \(A, B\)  und \(C\) in ein Koordinatensystem ein und konstruiere zur Strecke \(\overline{AB}\) und zur Strecke \(\overline{AC}\) jeweils die Mittelsenkrechte.
2. Die beiden Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt \(S\). Messe jeweils die Entfernung von \(S\) zu \(A, B\)  und \(C\). Was stellst du fest?
3. Ermittle grafisch durch Konstruktion, ob die Mittelsenkrechte der Strecke \(\overline{BC}\) ebenfalls durch den Punkt  \(S\) verläuft. 
4. Beschreibe, welche Bedeutung Punkt \(S\) für das Dreieck \(ABC\) hat.

3  Haltestellen  (10 min) 𝕃

Leo, Karmen und Moritz wohnen im gleichen Ort. Stellt man ihre Wohnhäuser in einem Koordinatensystem dar, dann wohnt Leo in  \(L(-1|-7)\), Karmen in \(K(4|6)\) und Moritz in \(M(8|8)\). Alle drei fahren mit dem Bus zur Schule. Die Bushaltestellen befinden sich in den Punkten \(A(-2|1)\) und \(B(6|-3)\).

1. Untersuche, welches der Kinder von seinem Wohnort zu den beiden Haltestellen gleich weit hat.
2. Ermittle weitere Punkte, die von den beiden Haltestellen jeweils gleich weit entfernt sind und nenne die Ortslinie, auf der all diese Punkte liegen.

4  Konstruktionsaufgabe  (15 min) 𝕃

1. Zeichne die Gerade \(g:y=-0,5\cdot x - 2\) und den Punkt \(A(2|4)\) in ein Koordinatensystem ein.
2. Konstruiere die Gerade, die senkrecht zu \(g\) steht und durch \(A\) verläuft. Gib ihre Gleichung an. 
3. Konstruiere die Parallele \(p\) zu \(g\), die durch \(A\) verläuft.
4. Konstruiere zu \(g\) und \(p\) die Mittelparallele \(m\).

5  Erarbeitungsaufgabe Ortslinien Winkelhalbierende  (30 min)

1. Zeichnen, Markieren und Benennen.
   i.   Zeichne einen Winkel mit dem Scheitelpunkt S und den beiden Schenkeln s₁ und s₂.
   ii.  Zeichne drei Geraden g₁, g₂ und g₃ durch S. Eine dieser Geraden soll den Winkel
        in zwei gleich große Teile teilen und heißt die Winkelhalbierende h.
   iii. Zeichne einen Kreisbogen um S mit einem Radius von etwa 6 cm, der beide Schenkel s₁ und s₂ schneidet.
   iv.  Markiere und benenne alle Schnittpunkte der drei Geraden g₁, g₂ und g₃ mit diesem Kreisbogen
        der Reihe nach mit Q₁, Q₂, Q₃, …
   v.   Markiere und benenne drei weitere Punkte R₁, R₂, R₃ auf der Winkelhalbierenden h.

2. Abstände messen und vergleichen.
   i.   Miss mit dem Geodreieck für jeden Punkt Qᵢ und Rᵢ den Lotabstand zu s₁ sowie den
        Lotabstand zu s₂ und gib die Werte tabellarisch an
        (Kopfzeile: Punkt – Abstand zu s₁ – Abstand zu s₂).
   ii.  Vergleiche für alle Punkte Qᵢ die beiden Abstände miteinander. Gib an, auf welchen
        der drei Geraden g₁, g₂ und g₃ diejenigen Punkte liegen, bei denen beide Abstände
        (annähernd) gleich sind.
   iii. Vergleiche für alle Punkte Rᵢ die beiden Abstände miteinander.

3. Geometrische Orte vergleichen: Kreisbogen (gesichert) und Winkelhalbierende
        (empirisch untersucht, später beweisbar).
   i.   Formuliere mit eigenen Worten, was mit „geometrischer Ort“ gemeint ist.
        Verwende dabei die Begriffe „Menge aller Punkte“, „Bedingung“ und „Erfüllen“.
   ii.

   Ergänze die folgenden Sätze, indem du die passenden Begriffe einsetzt
         (zur Auswahl stehen: „denselben Abstand“, „je gleichen Abstand“, „konstant“, „nicht konstant“):
         ii.1 Alle Punkte eines Kreisbogens um den Punkt S haben zu S ...
              dieser Abstand bleibt für alle Punkte ...
         ii.2 Alle Punkte der Winkelhalbierenden zum Winkel zwischen s₁ und s₂ haben (vermutlich)
              zu s₁ und s₂ ...
              dabei ist dieser Abstand (vermutlich) über die gesamte Gerade ...

6  Seitenhalbierende im Dreieck  (10 min) 𝕃

Die Seitenhalbierende in einem Dreieck verbinden jeweils eine Ecke des Dreiecks mit der Mitte der gegenüberliegenden Seite.

Ein Dreieck im Koordinatensystem hat die Eckpunkte \(A(-1|-2), B(5|3)\)  und \(C(3|7)\).

1. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch \(A\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(BC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis in einem Schaubild.
2. Bestimme die Gleichung der Gerade, die durch den Punkt \(B\) und durch den Mittelpunkt der Strecke \(AC\) geht. Überprüfe dein Ergebnis im Schaubild.
3. Der Schnittpunkt der Geraden (Seitenhalbierenden) ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Berechne diesen Schwerpunkt.

7  Umfang eines Dreiecks  (5 min) 𝕃

Berechne den Umfang des Dreiecks \(ABC\) mit \(A(-2|3), B(10|-2), C(1|7)\).