Lösung Erarbeitungsaufgabe Ortslinien

Lösung zur Aufgabe: Kreis (gesichert) und Mittelsenkrechte (empirisch untersucht)

1. Zeichnen, Markieren und Benennen.

   i.  Die Strecke AB ist 6 cm lang; der Mittelpunkt M liegt bei 3 cm.  
       → korrekt eingezeichnet und markiert.

   ii. Durch M liegen drei Geraden; eine davon steht senkrecht auf AB  
       → dies ist die Mittelsenkrechte m der Strecke AB.

   iii. Der Kreis um A mit Radius 8 cm ist gezeichnet.  
        → Alle Punkte auf dieser Kreislinie haben zu A den konstanten Abstand 8 cm.

   iv. Die drei Geraden schneiden den Kreis in mehreren Punkten S₁, S₂, S₃, …  
       → Anzahl und Lage unterscheiden sich je nach Zeichnung.

   v. Auf der Mittelsenkrechten m wurden drei weitere Punkte P₁, P₂, P₃ markiert.  
       → Diese Punkte dürfen frei auf m liegen (auch außerhalb des Kreises).

1. Abstände messen und vergleichen.

   i.  Typische Tabellenstruktur (Beispiel):

       {| class="wikitable"
       ! Punkt !! Abstand zu A (cm) !! Abstand zu B (cm)
       |-
       | S₁ || 8,0 || 9,4
       |-
       | S₂ || 8,0 || 6,9
       |-
       | S₃ || 8,0 || 8,1
       |-
       | S₄ || 8,0 || 7,9
       |-
       | P₁ || 4,2 || 4,2
       |-
       | P₂ || 7,5 || 7,5
       |-
       | P₃ || 2,9 || 2,9
       |}

       (Messwerte können individuell leicht variieren.)

   ii.  Auswertung der Sᵢ:
        – Für alle Sᵢ gilt SᵢA ≈ 8 cm (Kreisradius).  
        – Die Abstände SᵢB sind verschieden.  
        – Nur wenige Sᵢ haben SᵢA ≈ SᵢB.  
        → Diese Sᵢ liegen (annähernd) auf der Mittelsenkrechten m.

   iii. Auswertung der Pᵢ:
        – Für alle Pᵢ auf der Mittelsenkrechten gilt PᵢA ≈ PᵢB.  
        – Die Werte selbst sind unterschiedlich groß.  
        → Jeder Punkt auf m ist (empirisch) gleich weit von A und B entfernt.

1. Geometrische Orte vergleichen: Kreis (gesichert) und Mittelsenkrechte (empirisch untersucht, später beweisbar).

   i.  Mögliche Schülerformulierung:
       „Ein geometrischer Ort ist die Menge aller Punkte, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.“

   ii. Ergänzter Lückentext (Musterlösung):

       • „Alle Punkte einer Kreislinie um den Punkt Z haben zu Z denselben Abstand;  
          dieser Abstand bleibt für alle Punkte konstant.“

       • „Alle Punkte der Mittelsenkrechten zur Strecke AB haben (vermutlich) zu A und zu B  
         je gleichen Abstand;  
          dabei ist dieser Abstand (vermutlich) über die gesamte Gerade nicht konstant.“

       Hinweis:
       – Der Kreis ist per Definition ein gesicherter geometrischer Ort.  
       – Die Eigenschaft der Mittelsenkrechten wird hier aus Messungen vermutet.  
       – Der vollständige Beweis („AC = BC genau dann, wenn C auf m liegt“) erfolgt später  
         mithilfe der Kongruenzsätze (z.B. SSS oder SWS).

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